Номер 168, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 168, страница 68.

Условие.

168 1) $\sqrt{x^2 - 1} > 1;$

2) $\sqrt{1 - x^2} < 1;$

3) $\sqrt{25 - x^2} > 4;$

4) $\sqrt{25 - x^2} < 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^2-1} > 1$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, его можно решить, рассмотрев систему. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (область допустимых значений). Во-вторых, можно возвести обе части в квадрат.

$ \begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ (\sqrt{x^2-1})^2 > 1^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы (ОДЗ):

$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2-1=0$ равны $x_1=-1, x_2=1$. Ветви параболы $y=x^2-1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 1 > 1 \implies x^2 - 2 > 0 \implies (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) > 0$.

Корни уравнения $x^2-2=0$ равны $x_1=-\sqrt{2}, x_2=\sqrt{2}$. Ветви параболы $y=x^2-2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ и $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Учитывая, что $-\sqrt{2} < -1$ и $\sqrt{2} > 1$, общим решением будет $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2)

Исходное неравенство: $\sqrt{1-x^2} < 1$.

Неравенство равносильно системе, включающей область допустимых значений и результат возведения в квадрат неотрицательных частей.

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ (\sqrt{1-x^2})^2 < 1^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы (ОДЗ):

$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1$.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-1, 1]$.

Решим второе неравенство системы:

$1 - x^2 < 1 \implies -x^2 < 0 \implies x^2 > 0$.

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$. То есть, $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-1, 1]$ и $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

3)

Исходное неравенство: $\sqrt{25-x^2} > 4$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ (\sqrt{25-x^2})^2 > 4^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25$.

Решением является отрезок $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство:

$25 - x^2 > 16 \implies 9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9$.

Решением является интервал $x \in (-3, 3)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-5, 5]$ и $x \in (-3, 3)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-3, 3)$.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

4)

Исходное неравенство: $\sqrt{25-x^2} < 4$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ (\sqrt{25-x^2})^2 < 4^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25$.

Решением является отрезок $x \in [-5, 5]$.

Решим второе неравенство:

$25 - x^2 < 16 \implies 9 - x^2 < 0 \implies x^2 > 9$.

Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Пересекая отрезок $[-5, 5]$ с лучами $(-\infty, -3)$ и $(3, \infty)$, получаем объединение полуинтервалов.

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (3, 5]$.