Номер 172, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Параграф 10. Иррациональные неравенства - номер 172, страница 69.

Условие.

172 1) $\sqrt{x} \ge x$;

2) $\sqrt{x} < x$;

3) $\sqrt{x} > x - 2$;

4) $\sqrt{x} \le x - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x} \ge x$
Решим неравенство $\sqrt{x} \ge x$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Поскольку $x \ge 0$, обе части неравенства неотрицательны. Мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \ge x^2$
$x \ge x^2$
3. Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - x \le 0$
$x(x - 1) \le 0$
4. Найдем корни уравнения $x(x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x(x - 1) \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение этого неравенства: $0 \le x \le 1$.
5. Сравним полученное решение с ОДЗ ($x \ge 0$). Решение $x \in [0, 1]$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [0, 1]$.

2) $\sqrt{x} < x$
Решим неравенство $\sqrt{x} < x$.
1. ОДЗ: $x \ge 0$.
2. Левая часть неравенства $\sqrt{x}$ неотрицательна. Чтобы неравенство выполнялось, правая часть $x$ должна быть строго положительной, т.е. $x > 0$. При $x=0$ неравенство $0<0$ неверно.
3. Так как при $x > 0$ обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 < x^2$
$x < x^2$
4. Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
5. Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $0$ и $1$. Парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x < 0$ или $x > 1$.
6. Учтем ОДЗ ($x \ge 0$) и дополнительное условие ($x > 0$). Объединяя, получаем, что нас интересуют решения при $x > 0$.
Пересечение множеств $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $(0, \infty)$ дает нам интервал $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (1, \infty)$.

3) $\sqrt{x} > x - 2$
Решим неравенство $\sqrt{x} > x - 2$.
1. ОДЗ: $x \ge 0$.
2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения в правой части.
Случай 1: Правая часть отрицательна.
$x - 2 < 0 \implies x < 2$.
В этом случае левая часть ($\sqrt{x}$) всегда неотрицательна, а правая — отрицательна. Неравенство $\text{неотрицательное число} > \text{отрицательное число}$ всегда верно. Нам нужно только учесть ОДЗ.
Решением для этого случая будет пересечение условий $x \ge 0$ и $x < 2$, что дает $x \in [0, 2)$.
Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > (x - 2)^2$
$x > x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 < x < 4$.
Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge 2$):
Пересечение $(1, 4)$ и $[2, \infty)$ дает $x \in [2, 4)$.
3. Объединим решения из обоих случаев:
Решение из случая 1: $[0, 2)$.
Решение из случая 2: $[2, 4)$.
Объединение: $[0, 2) \cup [2, 4) = [0, 4)$.
Ответ: $x \in [0, 4)$.

4) $\sqrt{x} \le x - 2$
Решим неравенство $\sqrt{x} \le x - 2$.
Данное неравенство равносильно системе:
$$ \begin{cases} x \ge 0 & \text{(ОДЗ)} \\ x - 2 \ge 0 & \text{(правая часть должна быть неотрицательна)} \\ (\sqrt{x})^2 \le (x - 2)^2 & \text{(возведение в квадрат)} \end{cases} $$
1. Решим каждое неравенство системы:
Первое неравенство: $x \ge 0$.
Второе неравенство: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Третье неравенство:
$x \le x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая сами корни):
$x \le 1$ или $x \ge 4$. Это можно записать как $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.
2. Найдем пересечение решений всех трех неравенств системы.
Из первого и второго неравенств ($x \ge 0$ и $x \ge 2$) следует, что $x \ge 2$.
Теперь найдем пересечение этого результата с решением третьего неравенства:
Пересечение $x \ge 2$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.
Интервал $[2, \infty)$ не пересекается с $(-\infty, 1]$.
Пересечение $[2, \infty)$ и $[4, \infty)$ есть $[4, \infty)$.
Следовательно, итоговое решение системы: $x \ge 4$.
Ответ: $x \in [4, \infty)$.