Номер 175, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 175, страница 69.

Условие.

175 Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1) $y = x^9$;

2) $y = 7x^4$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$;

5) $y = x^{-2}$;

6) $y = x^{-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = x^9$

Это степенная функция вида $y=x^n$, где $n$ — нечетное натуральное число ($n=9$). График такой функции является кубической параболой, которая в данном случае будет более "прижата" к оси абсцисс на интервале $(-1; 1)$ и расти/убывать быстрее при $|x| > 1$ по сравнению с $y=x^3$.

Схематический график: кривая, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Она расположена в I и III координатных четвертях и симметрична относительно начала координат (так как функция нечетная). Функция монотонно возрастает на всей числовой оси.

Область определения: функция определена для любых действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: функция может принимать любые действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$. График — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2) $y = 7x^4$

Это степенная функция вида $y=kx^n$, где $n$ — четное натуральное число ($n=4$) и $k>0$ ($k=7$). График похож на параболу $y=x^2$, но его ветви более круто устремлены вверх из-за множителя 7 и более высокой степени.

Схематический график: кривая с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси OY (так как функция четная).

Область определения: функция определена для любых действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $y = 7x^4 \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График — кривая, похожая на параболу, с вершиной в начале координат и ветвями вверх, симметричная относительно оси OY.

3) $y = \sqrt{x}$

Это функция квадратного корня. Ее график — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$.

Схематический график: кривая, выходящая из начала координат $(0, 0)$ и проходящая через точку $(1, 1)$, расположенная в I координатной четверти. Функция монотонно возрастает.

Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.

Множество значений: по определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График — ветвь параболы, выходящая из начала координат в I координатную четверть.

4) $y = \sqrt[3]{x}$

Это функция кубического корня. Ее график симметричен графику функции $y=x^3$ относительно прямой $y=x$.

Схематический график: кривая, похожая на "лежащую" кубическую параболу. Она проходит через начало координат, расположена в I и III координатных четвертях и симметрична относительно начала координат (нечетная функция).

Область определения: кубический корень можно извлечь из любого действительного числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: значения кубического корня также могут быть любыми действительными числами. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$. График — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

5) $y = x^{-2}$

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^2}$. Это степенная функция с отрицательным четным показателем.

Схематический график: график состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Он симметричен относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами: при $x \to 0$, $y \to +\infty$; при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Область определения: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $x^2 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: так как $x^2$ всегда положителен при $x \ne 0$, то и $y = \frac{1}{x^2}$ всегда положителен. $E(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(0; +\infty)$. График состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси OY, с асимптотами $y=0$ и $x=0$.

6) $y = x^{-3}$

Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция с отрицательным нечетным показателем. Ее график — гипербола.

Схематический график: график состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат. Оси координат являются асимптотами: при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$, $y \to -\infty$; при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Область определения: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.е. $x^3 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений: функция принимает все действительные значения, кроме нуля. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График — гипербола с ветвями в I и III четвертях, симметричная относительно начала координат, с асимптотами $y=0$ и $x=0$.