Номер 181, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 181, страница 70.

Условие.

181 Изобразить график функции, обратной к функции, график которой представлен на рисунке 33.

$y = f(x)$

а) $y = g(x)$

б) Рис. 33

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции, обратной к данной, необходимо отразить исходный график симметрично относительно прямой $y=x$. Это означает, что если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику исходной функции, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции. Мы применим этот метод для каждого из представленных графиков.

а)

Исходный график функции $y=f(x)$ проходит через точки с целочисленными координатами, которые легко определить по сетке: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$ и $(9, 3)$.
Чтобы получить точки, принадлежащие графику обратной функции, мы меняем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек. Получаем новые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$ и $(3, 9)$.
Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график. Можно заметить, что исходная функция — это $y=\sqrt{x}$. Тогда обратная ей функция — это $y=x^2$ при условии $x \ge 0$. Полученный график является ветвью параболы, направленной вверх, с вершиной в начале координат.

Ответ: График обратной функции — это ветвь параболы $y=x^2$ для $x \ge 0$. График выходит из точки $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 4)$ и $(3, 9)$.

б)

Исходный график функции $y=g(x)$ проходит через следующие точки с целочисленными координатами: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(4, 3)$ и $(9, 4)$.
Меняем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек, чтобы получить точки для графика обратной функции: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(3, 4)$ и $(4, 9)$.
Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график. Можно заметить, что исходная функция — это $y=\sqrt{x}+1$. Тогда обратная ей функция — это $y=(x-1)^2$ при условии $x \ge 1$. Полученный график является ветвью параболы, направленной вверх, с вершиной в точке $(1, 0)$.

Ответ: График обратной функции — это ветвь параболы $y=(x-1)^2$ для $x \ge 1$. График выходит из точки $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$, $(3, 4)$ и $(4, 9)$.