Номер 1, страница 70 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Проверь себя к главе 2 - номер 1, страница 70.

Условие.

1 Найти область определения функции:

1) $y = 3(x-1)^{-3}$;

2) $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = 3(x - 1)^{-3}$ содержит отрицательную степень, что эквивалентно дроби: $y = \frac{3}{(x - 1)^3}$. Основное ограничение для дробей — знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его из области определения.
$(x - 1)^3 = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$, содержащей корень четной степени (в данном случае, 4-й), область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения. То есть, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю.
Составим и решим неравенство:
$x^2 - 3x - 4 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
Корни -1 и 4 разбивают числовую прямую на три интервала. Так как графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), то значения функции будут неотрицательны ($y \ge 0$) на участках левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \le -1$ или $x \ge 4$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.