Номер 184, страница 71 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 184, страница 71.

Условие.

184 Изобразить схематически на одном рисунке графики функций:

1) $y = \sqrt{x^5}$, $y = x\sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt[5]{x}$, $y = x^{-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рассмотрим функции $y = \sqrt{x^5}$ и $y = x\sqrt{x}$.

Сначала проанализируем область определения каждой функции. Для обеих функций выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

• Для функции $y = \sqrt{x^5}$, необходимо условие $x^5 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.
• Для функции $y = x\sqrt{x}$, необходимо условие $x \ge 0$.

Таким образом, область определения обеих функций — это луч $[0, +\infty)$.

Теперь преобразуем функции, представив их в виде степенных функций:

• $y = \sqrt{x^5} = (x^5)^{1/2} = x^{5/2} = x^{2.5}$
• $y = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2} = x^{1.5}$

Сравним поведение функций $y_1 = x^{2.5}$ и $y_2 = x^{1.5}$. Найдем их точки пересечения, решив уравнение $x^{2.5} = x^{1.5}$. Это равенство верно при $x=0$ и $x=1$. Следовательно, графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Проанализируем взаимное расположение графиков на разных интервалах:

• При $x \in (0, 1)$, значение $x$ меньше 1, поэтому чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Таким образом, $x^{2.5} < x^{1.5}$, и график функции $y = \sqrt{x^5}$ лежит ниже графика $y = x\sqrt{x}$.
• При $x \in (1, +\infty)$, значение $x$ больше 1, поэтому чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Таким образом, $x^{2.5} > x^{1.5}$, и график функции $y = \sqrt{x^5}$ лежит выше графика $y = x\sqrt{x}$.

Обе функции возрастают на всей области определения.

Ответ:

2) Рассмотрим функции $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = x^{-5}$.

Проанализируем каждую функцию отдельно.

• Функция $y_1 = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$. Так как корень нечетной степени (5), функция определена для всех действительных чисел $x$. Область определения: $(-\infty, +\infty)$. Функция является нечетной, так как $\sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x}$, ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
• Функция $y_2 = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$. Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $x$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой. Функция также является нечетной, так как $(-x)^{-5} = -x^{-5}$, и ее график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\sqrt[5]{x} = x^{-5}$:
$x^{1/5} = \frac{1}{x^5}$
$x^{1/5} \cdot x^5 = 1$
$x^{1/5+5} = 1$
$x^{26/5} = 1$
Это уравнение имеет два решения: $x=1$ и $x=-1$. Соответствующие точки пересечения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: