Номер 189, страница 71 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 2. Степенная функция. Упражнения к главе 2 - номер 189, страница 71.

Условие.

Решить неравенство (189—190).

189 1) $\sqrt{x + 1} < x - 1$;

2) $\sqrt{1 - x} > x + 1$;

3) $\sqrt{3x - 2} > x - 2$;

4) $\sqrt{2x + 1} \le x + 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решить неравенство $ \sqrt{x+1} < x-1 $.

Данное иррациональное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} < g(x) $ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Подставим наши выражения $ f(x) = x+1 $ и $ g(x) = x-1 $:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 > 0 \\ x+1 < (x-1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $ x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 $

2. $ x-1 > 0 \implies x > 1 $

3. $ x+1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0 $. Решением этого неравенства являются интервалы $ (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) $.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первого и второго неравенств следует, что $ x > 1 $. Учтем третье неравенство: нам нужны значения $ x > 1 $, которые также удовлетворяют условию $ x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) $. Пересечением этих множеств является интервал $ (3, +\infty) $.

Ответ: $ (3, +\infty) $

2) Решить неравенство $ \sqrt{1-x} > x+1 $.

Неравенство вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $ равносильно совокупности двух систем:

Первая система (когда правая часть отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно):

$ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+1 < 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $

Решаем систему: $ \begin{cases} x < -1 \\ x \le 1 \end{cases} $. Пересечением является $ x < -1 $, то есть интервал $ (-\infty, -1) $.

Вторая система (когда правая часть неотрицательна, можно возвести обе части в квадрат):

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 1-x > (x+1)^2 \end{cases} $

Решаем систему:

1. $ x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 $

2. $ 1-x > x^2 + 2x + 1 \implies 0 > x^2 + 3x \implies x(x+3) < 0 $. Решением этого неравенства является интервал $ (-3, 0) $.

Находим пересечение решений $ x \ge -1 $ и $ -3 < x < 0 $. Получаем полуинтервал $ [-1, 0) $.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем: $ (-\infty, -1) \cup [-1, 0) = (-\infty, 0) $.

Ответ: $ (-\infty, 0) $

3) Решить неравенство $ \sqrt{3x-2} > x-2 $.

Это неравенство также вида $ \sqrt{f(x)} > g(x) $. Решаем его с помощью совокупности двух систем.

Первая система:

$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} $

Решением этой системы является полуинтервал $ [\frac{2}{3}, 2) $.

Вторая система:

$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x-2 > (x-2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x-2 > x^2 - 4x + 4 \end{cases} $

Решаем второе неравенство системы: $ 0 > x^2 - 7x + 6 \implies x^2 - 7x + 6 < 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $ равны $ x_1=1 $ и $ x_2=6 $. Неравенство $ (x-1)(x-6) < 0 $ выполняется на интервале $ (1, 6) $.

Находим пересечение решений системы: $ x \ge 2 $ и $ 1 < x < 6 $. Получаем полуинтервал $ [2, 6) $.

Общее решение — объединение решений двух систем: $ [\frac{2}{3}, 2) \cup [2, 6) = [\frac{2}{3}, 6) $.

Ответ: $ [\frac{2}{3}, 6) $

4) Решить неравенство $ \sqrt{2x+1} \le x+1 $.

Данное неравенство вида $ \sqrt{f(x)} \le g(x) $ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases} $

Подставим наши выражения $ f(x) = 2x+1 $ и $ g(x) = x+1 $:

$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ 2x+1 \le (x+1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5 $

2. $ x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 $

3. $ 2x+1 \le x^2 + 2x + 1 \implies 0 \le x^2 $. Это неравенство верно для любого действительного числа $ x $.

Найдем пересечение решений. Первые два неравенства $ x \ge -0.5 $ и $ x \ge -1 $ дают в пересечении $ x \ge -0.5 $. Третье неравенство не накладывает дополнительных ограничений. Таким образом, решением системы является $ x \ge -0.5 $.

Ответ: $ [-0.5, +\infty) $