Номер 195, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 195, страница 76.

Условие.

195 (Устно.) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:

1) $1,7^3$ и 1;

2) $0,3^2$ и 1;

3) $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$;

4) $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$;

5) $\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}$ и $\left(\frac{1}{5}\right)^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,14}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для сравнения чисел используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей, то есть для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Большему показателю соответствует большее значение степени.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей, то есть для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. Большему показателю соответствует меньшее значение степени.

1) Сравним числа $1,7^3$ и $1$. Представим число $1$ в виде степени с основанием $1,7$: $1 = 1,7^0$. Таким образом, мы сравниваем $1,7^3$ и $1,7^0$. Так как основание степени $a = 1,7$ больше единицы ($1,7 > 1$), показательная функция $y = 1,7^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $3 > 0$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, $1,7^3 > 1,7^0$.
Ответ: $1,7^3 > 1$.

2) Сравним числа $0,3^2$ и $1$. Представим $1$ как $0,3^0$. Сравниваем $0,3^2$ и $0,3^0$. Основание степени $a = 0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция $y = 0,3^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $2 > 0$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, $0,3^2 < 0,3^0$.
Ответ: $0,3^2 < 1$.

3) Сравним числа $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$. Основание степени $a = 3,2$ больше единицы ($3,2 > 1$), поэтому показательная функция $y = 3,2^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $1,5 < 1,6$. Так как функция возрастающая, меньшему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $3,2^{1,5} < 3,2^{1,6}$.

4) Сравним числа $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$. Основание степени $a = 0,2$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция $y = 0,2^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $-3 < -2$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $0,2^{-3} > 0,2^{-2}$.

5) Сравним числа $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{5})^{1,4}$. Основание степени $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414...$, то $\sqrt{2} > 1,4$. Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{5})^{1,4}$.

6) Сравним числа $3^{\pi}$ и $3^{3,14}$. Основание степени $a = 3$ больше единицы ($3 > 1$), поэтому показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $\pi$ и $3,14$. Известно, что число $\pi \approx 3,14159...$, следовательно $\pi > 3,14$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $3^{\pi} > 3^{3,14}$.