Номер 199, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 199, страница 76.

Условие.

199 (Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1) $y = 0,3^{-x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{-x}$;

3) $y = 1,3^{-2x}$;

4) $y = 0,7^{-3x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, является ли показательная функция $y = a^x$ возрастающей или убывающей, нужно проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Для функций вида $y = a^{kx}$ мы преобразуем их к виду $y = (a^k)^x$ и анализируем новое основание $b = a^k$.

1) $y = 0,3^{-x}$

Преобразуем данную функцию, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $a^{-x} = (a^{-1})^x$.

$y = 0,3^{-x} = (0,3^{-1})^x = (\frac{1}{0,3})^x = (\frac{10}{3})^x$.

Новое основание степени $b = \frac{10}{3}$. Поскольку $\frac{10}{3} > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{-x}$

Преобразуем функцию аналогично предыдущему пункту:

$y = \left(\frac{1}{7}\right)^{-x} = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}\right)^x = 7^x$.

Основание степени $b = 7$. Поскольку $7 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = 1,3^{-2x}$

Преобразуем функцию, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$y = 1,3^{-2x} = (1,3^{-2})^x$.

Вычислим новое основание $b = 1,3^{-2}$:
$b = 1,3^{-2} = \frac{1}{1,3^2} = \frac{1}{1,69}$.

Поскольку основание $b = \frac{1}{1,69}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{1}{1,69} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = 0,7^{-3x}$

Преобразуем функцию:

$y = 0,7^{-3x} = (0,7^{-3})^x$.

Вычислим новое основание $b = 0,7^{-3}$:
$b = 0,7^{-3} = \left(\frac{7}{10}\right)^{-3} = \left(\frac{10}{7}\right)^3 = \frac{1000}{343}$.

Поскольку основание $b = \frac{1000}{343} \approx 2.91$ больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.