Номер 194, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 194, страница 76.

Условие.

194 Изобразить схематически график функции:

1) $y = 0,4^x$;

2) $y = (\sqrt{2})^x$;

3) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$;

4) $y = (\sqrt{3})^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = 0,4^x$ основание степени $a = 0,4$. Так как $0 < a < 1$, это показательная функция, которая является убывающей на всей своей области определения. Ключевые характеристики для построения схематического графика:

• Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений — все положительные действительные числа, $y \in (0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как любое число в нулевой степени (кроме нуля) равно единице: $0,4^0 = 1$.
• Для уточнения положения графика найдем еще одну точку: при $x=-1$, $y = 0,4^{-1} = (4/10)^{-1} = 10/4 = 2,5$.
• При $x \to +\infty$, значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), поэтому ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

Схематически, это кривая, которая убывает слева направо, проходит через точки $(-1; 2,5)$ и $(0; 1)$ и приближается к оси абсцисс.
Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0;1)$, монотонно убывающая. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

2) Для функции $y = (\sqrt{2})^x$ основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $a = \sqrt{2} \approx 1,414 > 1$, это показательная функция, которая является возрастающей на всей своей области определения. Ключевые характеристики для построения схематического графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как $(\sqrt{2})^0 = 1$.
• Для уточнения положения графика найдем еще одну точку: при $x=2$, $y = (\sqrt{2})^2 = 2$.
• При $x \to -\infty$, значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), поэтому ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

Схематически, это кривая, которая возрастает слева направо, проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 2)$ и приближается к оси абсцисс слева.
Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0;1)$, монотонно возрастающая. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

3) Для функции $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$ основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Так как $a = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$, то есть $0 < a < 1$, это показательная функция, которая является убывающей на всей своей области определения. Ключевые характеристики для построения схематического графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^0 = 1$.
• Для уточнения положения графика найдем еще одну точку: при $x=-2$, $y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.
• При $x \to +\infty$, значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), поэтому ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

Схематически, это кривая, которая убывает слева направо, проходит через точки $(-2; 2)$ и $(0; 1)$ и приближается к оси абсцисс справа.
Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0;1)$, монотонно убывающая. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

4) Для функции $y = (\sqrt{3})^x$ основание степени $a = \sqrt{3}$. Так как $a = \sqrt{3} \approx 1,732 > 1$, это показательная функция, которая является возрастающей на всей своей области определения. Ключевые характеристики для построения схематического графика:

• Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $y \in (0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как $(\sqrt{3})^0 = 1$.
• Для уточнения положения графика найдем еще одну точку: при $x=2$, $y = (\sqrt{3})^2 = 3$.
• При $x \to -\infty$, значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), поэтому ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

Схематически, это кривая, которая возрастает слева направо, проходит через точки $(0; 1)$ и $(2; 3)$ и приближается к оси абсцисс слева. Рост этой функции при $x>0$ более крутой, чем у функции $y = (\sqrt{2})^x$, так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
Ответ: Схематический график — это гладкая кривая, проходящая через точку $(0;1)$, монотонно возрастающая. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.