Номер 197, страница 76 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 197, страница 76.

Условие.

197 Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = 2^x$ и $y = 8;$

2) $y = 3^x$ и $y = \frac{1}{3};$

3) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и $y = \frac{1}{16};$

4) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций $y = 2^x$ и $y = 8$, необходимо приравнять их правые части, так как в точке пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.
$2^x = 8$
Представим число 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
Получаем показательное уравнение:
$2^x = 2^3$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $y$. Из второго уравнения нам уже известно, что $y=8$. Для проверки можно подставить найденное значение $x$ в первое уравнение:
$y = 2^3 = 8$
Таким образом, координаты точки пересечения графиков — (3; 8).
Ответ: (3; 8).

2) Найдем координаты точки пересечения графиков функций $y = 3^x$ и $y = \frac{1}{3}$. Приравняем правые части уравнений:
$3^x = \frac{1}{3}$
Представим число $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3. Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Уравнение принимает вид:
$3^x = 3^{-1}$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = -1$
Значение $y$ в точке пересечения равно $\frac{1}{3}$. Проверим, подставив $x = -1$ в первое уравнение:
$y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$
Следовательно, координаты точки пересечения — (-1; 1/3).
Ответ: (-1; 1/3).

3) Найдем координаты точки пересечения графиков функций $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и $y = \frac{1}{16}$. Приравняем правые части:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{16}$
Представим число $\frac{1}{16}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$. Так как $16 = 4^2$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$.
Уравнение принимает вид:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^2$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 2$
Значение $y$ в точке пересечения равно $\frac{1}{16}$. Проверим, подставив $x = 2$ в первое уравнение:
$y = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$
Координаты точки пересечения — (2; 1/16).
Ответ: (2; 1/16).

4) Найдем координаты точки пересечения графиков функций $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = 9$. Приравняем правые части:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 9$
Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 3.
Левая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.
Правая часть: $9 = 3^2$.
Получаем уравнение:
$3^{-x} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 2$
$x = -2$
Значение $y$ в точке пересечения равно 9. Проверим, подставив $x = -2$ в первое уравнение:
$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2 = 9$
Координаты точки пересечения — (-2; 9).
Ответ: (-2; 9).