Номер 204, страница 77 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 204, страница 77.

Условие.

204 Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 2^{|x|}$ на отрезке $[-1; 1]$, исследуем её свойства.

Данная функция является сложной. Внешняя функция — показательная $f(t) = 2^t$, а внутренняя — $t(x) = |x|$.

Поскольку основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $f(t) = 2^t$ является строго возрастающей. Это означает, что её наибольшее значение на некотором отрезке достигается в точке, где показатель степени $t$ принимает наибольшее значение, а наименьшее значение — в точке, где показатель степени принимает наименьшее значение.

Следовательно, задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений выражения $|x|$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Нахождение наименьшего значения функции.

Наименьшее значение выражения $|x|$ на отрезке $[-1; 1]$ достигается при $x = 0$. Это значение равно $|0| = 0$. Тогда наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{наим} = 2^0 = 1$.

2. Нахождение наибольшего значения функции.

Наибольшее значение выражения $|x|$ на отрезке $[-1; 1]$ достигается в его концах: при $x = -1$ и при $x = 1$. Это значение равно $|-1| = |1| = 1$. Тогда наибольшее значение функции $y$ будет:

$y_{наиб} = 2^1 = 2$.

Таким образом, на отрезке $[-1; 1]$ наименьшее значение функции равно 1 (при $x=0$), а наибольшее значение равно 2 (при $x=-1$ и $x=1$).

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение функции равно 2.