Номер 208, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 208, страница 79.

Условие.

Решить уравнение (208—223).

208 1) $4^{x-1} = 1$; 2) $0,3^{3x-2} = 1$; 3) $2^{2x} = 2^4\sqrt{3}$; 4) $(\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4^{x-1} = 1$

Чтобы решить это показательное уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. Число 1 можно представить как любое ненулевое число в степени 0. В данном случае удобно представить 1 как $4^0$.

Получаем уравнение: $4^{x-1} = 4^0$.

Так как основания степеней равны ($a^m = a^n \Rightarrow m=n$, где $a>0, a\neq1$), мы можем приравнять их показатели:

$x - 1 = 0$

Решая это простое линейное уравнение, находим x:

$x = 1$

Ответ: $1$.

2) $0,3^{3x-2} = 1$

Аналогично предыдущему примеру, представим число 1 как степень с основанием 0,3. То есть, $1 = 0,3^0$.

Уравнение принимает вид: $0,3^{3x-2} = 0,3^0$.

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3x - 2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) $2^{2x} = 2^{4\sqrt{3}}$

В этом уравнении основания степеней в левой и правой частях уже равны (основание 2). Следовательно, мы можем сразу приравнять показатели степеней:

$2x = 4\sqrt{3}$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{4\sqrt{3}}{2}$

$x = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

4) $(\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{-2}$

В данном уравнении основания степеней также равны ($\frac{1}{3}$). Поэтому мы можем приравнять их показатели:

$3x = -2$

Находим x, разделив обе части уравнения на 3:

$x = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$.