Номер 214, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

214 1) $3^{x^2+x-12} = 1;$

2) $2^{x^2-7x+10} = 1;$

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4;$

4) $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}.$

1) $3^{x^2+x-12} = 1$

Данное уравнение является показательным. Мы знаем, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Поэтому мы можем представить 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^{x^2+x-12} = 3^0$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^2 + x - 12 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: -4; 3.

2) $2^{x^2-7x+10} = 1$

Аналогично предыдущему примеру, представим 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.
$2^{x^2-7x+10} = 2^0$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Проверим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Ответ: 2; 5.

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$.
$2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:
$\frac{x-1}{x-2} = 2$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$.
Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:
$x-1 = 2(x-2)$
$x-1 = 2x - 4$
$4 - 1 = 2x - x$
$x = 3$
Найденный корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 2$).
Ответ: 3.

4) $0.5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к 2.
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$4 = 2^2$
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$(2^{-1})^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}}$
Используем свойство степени "степень в степени" $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}}$
Приравниваем показатели степеней:
$-\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$ (то есть $x \neq -1$).
Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$-1 \cdot (x+1) = 2 \cdot x$
$-x - 1 = 2x$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Найденный корень $x = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.