Номер 219, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 219, страница 80.

Условие.

219 1) $7^{x-2} = 3^{2-x};$

2) $2^{x-3} = 3^{3-x};$

3) $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2};$

4) $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано показательное уравнение $7^{x-2} = 3^{2-x}$.

Для решения данного уравнения необходимо привести его к виду, где можно будет сравнить показатели степеней. Заметим, что показатель в правой части можно преобразовать: $2-x = -(x-2)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$7^{x-2} = 3^{-(x-2)}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем правую часть:

$7^{x-2} = \frac{1}{3^{x-2}}$

Умножим обе части уравнения на $3^{x-2}$ (это выражение всегда положительно, поэтому знак не меняется):

$7^{x-2} \cdot 3^{x-2} = 1$

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(7 \cdot 3)^{x-2} = 1$

$21^{x-2} = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Представим 1 как $21^0$:

$21^{x-2} = 21^0$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x-2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

---

2)

Дано уравнение $2^{x-3} = 3^{3-x}$.

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Преобразуем показатель степени в правой части: $3-x = -(x-3)$.

Уравнение принимает вид:

$2^{x-3} = 3^{-(x-3)}$

Перепишем правую часть, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{x-3} = \frac{1}{3^{x-3}}$

Умножим обе части уравнения на $3^{x-3}$:

$2^{x-3} \cdot 3^{x-3} = 1$

Объединим основания степеней:

$(2 \cdot 3)^{x-3} = 1$

$6^{x-3} = 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 6:

$6^{x-3} = 6^0$

Приравниваем показатели:

$x-3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.

---

3)

Дано уравнение $3^{\frac{x+2}{4}} = 5^{x+2}$.

Разделим обе части уравнения на $5^{x+2}$ (это выражение всегда больше нуля):

$\frac{3^{\frac{x+2}{4}}}{5^{x+2}} = 1$

Чтобы привести степени к общему показателю, преобразуем знаменатель. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.

$5^{x+2} = 5^{4 \cdot \frac{x+2}{4}} = (5^4)^{\frac{x+2}{4}} = 625^{\frac{x+2}{4}}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{3^{\frac{x+2}{4}}}{625^{\frac{x+2}{4}}} = 1$

Используя свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{3}{625})^{\frac{x+2}{4}} = 1$

Равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю, так как основание $\frac{3}{625} \neq 1$.

$\frac{x+2}{4} = 0$

Умножим на 4:

$x+2 = 0$

$x = -2$

Ответ: $x=-2$.

---

4)

Дано уравнение $4^{\frac{x-3}{2}} = 3^{2(x-3)}$.

Упростим обе части уравнения, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.

Левая часть: $4^{\frac{x-3}{2}} = (2^2)^{\frac{x-3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{x-3}{2}} = 2^{x-3}$.

Правая часть: $3^{2(x-3)} = (3^2)^{x-3} = 9^{x-3}$.

После преобразований уравнение принимает вид:

$2^{x-3} = 9^{x-3}$

Разделим обе части на $9^{x-3}$ (выражение всегда положительно):

$\frac{2^{x-3}}{9^{x-3}} = 1$

Применим свойство частного степеней:

$(\frac{2}{9})^{x-3} = 1$

Поскольку основание степени $\frac{2}{9}$ не равно 1, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x-3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x=3$.