Номер 224, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 224, страница 80.

Условие.

224 При каких значениях x сумма чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$ и $2^{x-2}$ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; ...?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо найти два значения: сумму чисел $2^{x-1}, 2^{x-4}$ и $2^{x-2}$, и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Затем эти два значения нужно приравнять и решить полученное уравнение относительно $x$.

1. Найдем сумму чисел.
Сумма чисел равна $S_1 = 2^{x-1} + 2^{x-4} + 2^{x-2}$.
Для упрощения этого выражения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{x-4}$:
$S_1 = 2^{x-4+3} + 2^{x-4} + 2^{x-4+2} = 2^{x-4} \cdot 2^3 + 2^{x-4} \cdot 1 + 2^{x-4} \cdot 2^2$
$S_1 = 2^{x-4} \cdot (8 + 1 + 4) = 13 \cdot 2^{x-4}$

2. Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Дана прогрессия $6,5; 3,25; 1,625; \dots$
Первый член прогрессии $b_1 = 6,5$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{3,25}{6,5} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = 0,5 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумма $S_2$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S_2 = \frac{6,5}{1 - 0,5} = \frac{6,5}{0,5} = 13$.

3. Приравняем суммы и решим уравнение.
Согласно условию, $S_1 = S_2$.
$13 \cdot 2^{x-4} = 13$
Разделим обе части уравнения на 13:
$2^{x-4} = 1$
Поскольку любое число в нулевой степени равно единице, мы можем представить 1 как $2^0$:
$2^{x-4} = 2^0$
Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$x - 4 = 0$
$x = 4$

Ответ: $x=4$.