Номер 222, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 222, страница 80.

Условие.

222 1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x;$

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3};$

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11;$

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить обе части уравнения. Вынесем общие множители за скобки.

В левой части: $3^x \cdot 3^3 + 3^x = 3^x(3^3 + 1) = 3^x(27 + 1) = 28 \cdot 3^x$.

В правой части: $7^x \cdot 7^1 + 5 \cdot 7^x = 7^x(7 + 5) = 12 \cdot 7^x$.

Получаем уравнение: $28 \cdot 3^x = 12 \cdot 7^x$.

Чтобы решить это уравнение, сгруппируем члены с $x$ в одной части, а константы в другой. Разделим обе части на $7^x$ (это возможно, так как $7^x > 0$ для любого $x$) и на 28.

$\frac{3^x}{7^x} = \frac{12}{28}$

Используем свойство $\frac{a^c}{b^c} = \left(\frac{a}{b}\right)^c$ и сократим дробь в правой части:

$\left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{3}{7}$

Поскольку $\frac{3}{7} = \left(\frac{3}{7}\right)^1$, мы можем записать:

$\left(\frac{3}{7}\right)^x = \left(\frac{3}{7}\right)^1$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$.

Ответ: $x=1$.

2) $3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения.

$3^{x+4} - 3^{x+3} = 5^{x+4} - 3 \cdot 5^{x+3}$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой части. В левой части вынесем $3^{x+3}$, а в правой $5^{x+3}$.

Левая часть: $3^{x+3} \cdot 3^1 - 3^{x+3} = 3^{x+3}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{x+3}$.

Правая часть: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3}(5 - 3) = 2 \cdot 5^{x+3}$.

Уравнение принимает вид: $2 \cdot 3^{x+3} = 2 \cdot 5^{x+3}$.

Разделим обе части на 2:

$3^{x+3} = 5^{x+3}$

Разделим обе части на $5^{x+3}$ (это возможно, так как $5^{x+3} > 0$):

$\frac{3^{x+3}}{5^{x+3}} = 1$

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем записать 1 как $\left(\frac{3}{5}\right)^0$.

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x+3} = \left(\frac{3}{5}\right)^0$

Приравниваем показатели:

$x + 3 = 0$

$x = -3$.

Ответ: $x=-3$.

3) $2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения.

$2^{8-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 7^{4-x} - 7^{3-x}$

Вынесем общий множитель за скобки. В левой части вынесем степень с наименьшим показателем, то есть $2^{3-x}$. В правой части вынесем $7^{3-x}$.

Левая часть: $2^{5+(3-x)} - 11 \cdot 2^{3-x} = 2^5 \cdot 2^{3-x} - 11 \cdot 2^{3-x} = 2^{3-x}(32 - 11) = 21 \cdot 2^{3-x}$.

Правая часть: $7^{1+(3-x)} - 7^{3-x} = 7^1 \cdot 7^{3-x} - 7^{3-x} = 7^{3-x}(7 - 1) = 6 \cdot 7^{3-x}$.

Уравнение принимает вид: $21 \cdot 2^{3-x} = 6 \cdot 7^{3-x}$.

Разделим обе части на $7^{3-x}$ и на 21:

$\frac{2^{3-x}}{7^{3-x}} = \frac{6}{21}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} = \frac{2}{7}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{7}$: $\frac{2}{7} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$.

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$

Приравниваем показатели:

$3 - x = 1$

$x = 3 - 1$

$x = 2$.

Ответ: $x=2$.

4) $2^{x+1} + 2^{x-1} - 3^{x-1} = 3^{x-2} - 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Сгруппируем слагаемые с основанием 2 в левой части, а с основанием 3 - в правой.

$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-1} + 3^{x-2} + 2 \cdot 3^{x-3}$

Вынесем за скобки общий множитель. В левой части вынесем $2^{x-3}$ (степень с наименьшим показателем), а в правой - $3^{x-3}$.

Левая часть: $2^{x-3} \cdot 2^4 + 2^{x-3} \cdot 2^2 + 2^{x-3} \cdot 1 = 2^{x-3}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{x-3}(16 + 4 + 1) = 21 \cdot 2^{x-3}$.

Правая часть: $3^{x-3} \cdot 3^2 + 3^{x-3} \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^{x-3} = 3^{x-3}(3^2 + 3^1 + 2) = 3^{x-3}(9 + 3 + 2) = 14 \cdot 3^{x-3}$.

Уравнение принимает вид: $21 \cdot 2^{x-3} = 14 \cdot 3^{x-3}$.

Разделим обе части на $3^{x-3}$ и на 21:

$\frac{2^{x-3}}{3^{x-3}} = \frac{14}{21}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = \frac{2}{3}$

Так как $\frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$, получаем:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 1$

$x = 4$.

Ответ: $x=4$.