Номер 226, страница 81 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 12. Показательные уравнения - номер 226, страница 81.

Условие.

226 1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0;$

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0;$

3) $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[2x]{3} = 12;$

4) $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.

Поскольку $4^x \neq 0$ при любом значении $x$, разделим обе части уравнения на $4^x$:

$4 \cdot \frac{9^x}{4^x} - 13 \cdot \frac{6^x}{4^x} + 9 \cdot \frac{4^x}{4^x} = 0$

$4 \cdot (\frac{9}{4})^x - 13 \cdot (\frac{6}{4})^x + 9 = 0$

$4 \cdot ((\frac{3}{2})^2)^x - 13 \cdot (\frac{3}{2})^x + 9 = 0$

$4 \cdot ((\frac{3}{2})^x)^2 - 13 \cdot (\frac{3}{2})^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 13t + 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ и $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

Оба корня положительны, что удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

Для $t_1 = \frac{9}{4}$: $(\frac{3}{2})^x = \frac{9}{4} \implies (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^2 \implies x = 2$.

Для $t_2 = 1$: $(\frac{3}{2})^x = 1 \implies (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0 \implies x = 0$.

Ответ: $x=0, x=2$.

2) $16 \cdot 9^x - 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0$

Это также однородное показательное уравнение. Заметим, что $9^x = (3^x)^2$, $16^x = (4^x)^2$ и $12^x = 3^x \cdot 4^x$.

Разделим обе части уравнения на $16^x$, так как $16^x > 0$ для любого $x$.

$16 \cdot \frac{9^x}{16^x} - 25 \cdot \frac{12^x}{16^x} + 9 \cdot \frac{16^x}{16^x} = 0$

$16 \cdot (\frac{9}{16})^x - 25 \cdot (\frac{12}{16})^x + 9 = 0$

$16 \cdot ((\frac{3}{4})^2)^x - 25 \cdot (\frac{3}{4})^x + 9 = 0$

$16 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 - 25 \cdot (\frac{3}{4})^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\frac{3}{4})^x$, где $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $16y^2 - 25y + 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$ и $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

Для $y_1 = 1$: $(\frac{3}{4})^x = 1 \implies (\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^0 \implies x = 0$.

Для $y_2 = \frac{9}{16}$: $(\frac{3}{4})^x = \frac{9}{16} \implies (\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^2 \implies x = 2$.

Ответ: $x=0, x=2$.

3) $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[2x]{3} = 12$

Предполагая, что в условии имеется в виду корень степени $x$ из 2 и корень степени $2x$ из 3, запишем уравнение в виде степеней. Область допустимых значений $x \neq 0$.

$2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{2x}} = 12$

Приведем степени к общему показателю $\frac{1}{2x}$:

$(2^2)^{\frac{1}{2x}} \cdot 3^{\frac{1}{2x}} = 12$

$4^{\frac{1}{2x}} \cdot 3^{\frac{1}{2x}} = 12$

Используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, получим:

$(4 \cdot 3)^{\frac{1}{2x}} = 12$

$12^{\frac{1}{2x}} = 12^1$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$\frac{1}{2x} = 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

4) $\sqrt[x]{5} \cdot 5^x = 25$

Предполагая, что в условии имеется в виду корень степени $x$ из 5, запишем уравнение в виде степеней. Область допустимых значений $x \neq 0$.

$5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^x = 5^2$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$5^{\frac{1}{x} + x} = 5^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{1}{x} + x = 2$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$1 + x^2 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула полного квадрата разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Решением уравнения является:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Ответ: $x=1$.