Номер 232, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 232, страница 83.

Условие.

232 1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$;

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$;

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \ge 448$;

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \le 624$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$

$9 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x < 28$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(9 + \frac{1}{3}\right) < 28$

Упростим выражение в скобках:

$3^x \left(\frac{27}{3} + \frac{1}{3}\right) < 28$

$3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$

Разделим обе части неравенства на $\frac{28}{3}$. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется:

$3^x < 28 \cdot \frac{3}{28}$

$3^x < 3$

Представим правую часть как степень с основанием 3: $3 = 3^1$.

$3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$

Используем свойства степеней для преобразования левой части:

$2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^3 > 17$

$\frac{1}{2} \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x > 17$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{1}{2} + 8\right) > 17$

Упростим выражение в скобках:

$2^x \left(\frac{1}{2} + \frac{16}{2}\right) > 17$

$2^x \cdot \frac{17}{2} > 17$

Разделим обе части неравенства на $\frac{17}{2}$. Знак неравенства не изменится:

$2^x > 17 \cdot \frac{2}{17}$

$2^x > 2$

Так как $2 = 2^1$, получаем:

$2^x > 2^1$

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{2x-3}$:

$2^{2x-3} \cdot 2^2 + 2^{2x-3} \cdot 2^1 + 2^{2x-3} \cdot 1 \geq 448$

$2^{2x-3}(4 + 2 + 1) \geq 448$

Упростим выражение в скобках:

$2^{2x-3} \cdot 7 \geq 448$

Разделим обе части неравенства на 7:

$2^{2x-3} \geq \frac{448}{7}$

$2^{2x-3} \geq 64$

Представим 64 как степень с основанием 2: $64 = 2^6$.

$2^{2x-3} \geq 2^6$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$2x - 3 \geq 6$

$2x \geq 9$

$x \geq \frac{9}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{9}{2}; +\infty)$.

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $5^{3x-3}$:

$5^{3x-3} \cdot 5^4 - 5^{3x-3} \cdot 1 \leq 624$

$5^{3x-3}(5^4 - 1) \leq 624$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$

Подставим полученное значение в неравенство:

$5^{3x-3} \cdot 624 \leq 624$

Разделим обе части неравенства на 624. Знак неравенства не изменится:

$5^{3x-3} \leq 1$

Представим 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.

$5^{3x-3} \leq 5^0$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$3x - 3 \leq 0$

$3x \leq 3$

$x \leq 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.