Номер 239, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 13. Показательные неравенства - номер 239, страница 84.

Условие.

239 Решить неравенство:

1) $0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5;$

2) $25 \cdot 0,04^{2x} > 0,2^{x(3 - x)};$

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4;$

4) $(\frac{1}{4})^x - 32 \cdot (\frac{1}{8})^{x^2 - 1} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и приведем показательные функции к одному основанию.

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$

$1,5 = \frac{3}{2}$

Подставим эти значения в неравенство:

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2})^{x+1} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - ((\frac{2}{5})^{-1})^{x+1} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x-1} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x} \cdot (\frac{2}{5})^{-1} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - \frac{1}{(\frac{2}{5})^x} \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.

$t - \frac{5}{2t} > \frac{3}{2}$

Умножим обе части неравенства на $2t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не меняется.

$2t^2 - 5 > 3t$

$2t^2 - 3t - 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Парабола $y=2t^2 - 3t - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 3t - 5 > 0$ выполняется при $t < -1$ или $t > \frac{5}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > \frac{5}{2}$.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{2}{5})^x > \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^{-1}$

Так как основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ( $0 < \frac{2}{5} < 1$ ), при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x < -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2) $25 \cdot 0,04^{2x} > 0,2^{x(3-x)}$

Приведем все степени к одному основанию 5.

$25 = 5^2$

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим эти значения в неравенство:

$5^2 \cdot (5^{-2})^{2x} > (5^{-1})^{x(3-x)}$

$5^2 \cdot 5^{-4x} > 5^{-x(3-x)}$

$5^{2-4x} > 5^{-3x+x^2}$

Так как основание степени 5 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$2 - 4x > x^2 - 3x$

$0 > x^2 - 3x + 4x - 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y=x^2 + x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями.

$-2 < x < 1$

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$4^x - 3^x \neq 0 \implies 4^x \neq 3^x \implies (\frac{4}{3})^x \neq 1 \implies x \neq 0$.

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{4^x}{4^x - 3^x} - 4 < 0$

$\frac{4^x - 4(4^x - 3^x)}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{4^x - 4 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{4 \cdot 3^x - 3 \cdot 4^x}{4^x - 3^x} < 0$

Разделим числитель и знаменатель на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{4 - 3 \cdot (\frac{4}{3})^x}{(\frac{4}{3})^x - 1} < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{4}{3})^x$. Так как $x \neq 0$, то $t \neq 1$. Также $t > 0$.

$\frac{4 - 3t}{t - 1} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4 - 3t = 0 \implies t = \frac{4}{3}$. Нуль знаменателя: $t - 1 = 0 \implies t = 1$.

Отмечаем точки $1$ и $\frac{4}{3}$ на числовой оси и определяем знаки дроби на интервалах. Неравенство выполняется при $t < 1$ или $t > \frac{4}{3}$.

Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t < 1 \implies (\frac{4}{3})^x < 1 \implies (\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^0$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x < 0$.

Случай 2: $t > \frac{4}{3} \implies (\frac{4}{3})^x > \frac{4}{3} \implies (\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^1$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем $x < 0$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{4})^x - 32 \cdot (\frac{1}{8})^{x^2-1} < 0$

Приведем все степени к одному основанию 2.

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$; $32 = 2^5$; $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$(2^{-2})^x - 2^5 \cdot (2^{-3})^{x^2-1} < 0$

$2^{-2x} - 2^5 \cdot 2^{-3(x^2-1)} < 0$

$2^{-2x} - 2^{5 - 3x^2 + 3} < 0$

$2^{-2x} < 2^{8 - 3x^2}$

Так как основание степени 2 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$-2x < 8 - 3x^2$

$3x^2 - 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$x_1 = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Парабола $y=3x^2 - 2x - 8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями.

$-\frac{4}{3} < x < 2$

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; 2)$.