Номер 242, страница 86 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Параграф 14. Системы показательных уравнений и неравенств - номер 242, страница 86.

Условие.

242 1) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 6, \\ 2^x - 2^y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 5^y = 8, \\ 3^x - 5^y = -2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^x + 2^y = 6, \\ 2^x - 2^y = 2. \end{cases} $$

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Тогда исходная система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a - b = 2. \end{cases} $$

Это система линейных уравнений относительно переменных $a$ и $b$. Для ее решения сложим почленно первое и второе уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 6 + 2$

$2a = 8$

$a = 4$

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение ($a + b = 6$), чтобы найти $b$:

$4 + b = 6$

$b = 6 - 4$

$b = 2$

Полученные значения $a = 4$ и $b = 2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Из $a = 2^x$ следует $4 = 2^x$, или $2^2 = 2^x$, откуда $x = 2$.

Из $b = 2^y$ следует $2 = 2^y$, или $2^1 = 2^y$, откуда $y = 1$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^x + 5^y = 8, \\ 3^x - 5^y = -2. \end{cases} $$

Аналогично предыдущему пункту, введем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 5^y$. При этом $a > 0$ и $b > 0$.

Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 8, \\ a - b = -2. \end{cases} $$

Сложим почленно два уравнения этой системы:

$(a + b) + (a - b) = 8 + (-2)$

$2a = 6$

$a = 3$

Подставим значение $a=3$ в первое уравнение ($a+b=8$), чтобы найти $b$:

$3 + b = 8$

$b = 5$

Значения $a=3$ и $b=5$ положительны, что соответствует условиям замены.

Выполним обратную замену:

Из $a = 3^x$ следует $3 = 3^x$, или $3^1 = 3^x$, откуда $x = 1$.

Из $b = 5^y$ следует $5 = 5^y$, или $5^1 = 5^y$, откуда $y = 1$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.