Номер 249, страница 87 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 249, страница 87.

Условие.

249 В каком промежутке находятся значения функции при $x \in [-1; 2]$:

1) $y = 5^x$;

2) $y = 5^{-x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 5^x$
Функция $y = 5^x$ является показательной с основанием $a = 5$. Поскольку основание больше единицы ($a > 1$), функция является монотонно возрастающей на всей области определения. Это означает, что для нахождения области значений на отрезке $x \in [-1; 2]$, нужно найти значения функции на концах этого отрезка. Наименьшее значение будет соответствовать наименьшему значению аргумента, а наибольшее — наибольшему.
Найдем наименьшее значение функции на отрезке, подставив $x = -1$:
$y_{min} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Найдем наибольшее значение функции на отрезке, подставив $x = 2$:
$y_{max} = 5^2 = 25$.
Таким образом, значения функции находятся в промежутке от $\frac{1}{5}$ до $25$ включительно.
Ответ: $y \in [\frac{1}{5}; 25]$.

2) $y = 5^{-x}$
Функцию $y = 5^{-x}$ можно представить в виде $y = (\frac{1}{5})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{5}$. Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), функция является монотонно убывающей на всей области определения. Это означает, что на отрезке $x \in [-1; 2]$ наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента, а наименьшее — наибольшему.
Найдем наибольшее значение функции на отрезке, подставив $x = -1$:
$y_{max} = 5^{-(-1)} = 5^1 = 5$.
Найдем наименьшее значение функции на отрезке, подставив $x = 2$:
$y_{min} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Таким образом, значения функции находятся в промежутке от $\frac{1}{25}$ до $5$ включительно.
Ответ: $y \in [\frac{1}{25}; 5]$.