Номер 252, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 252, страница 88.

Условие.

252 1) $5^{2x} - 5^x - 600 = 0;$

2) $9^x - 3^x - 6 = 0;$

3) $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0;$

4) $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данное уравнение $5^{2x} - 5^x - 600 = 0$ можно переписать в виде $(5^x)^2 - 5^x - 600 = 0$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$, так как показательная функция всегда положительна.

Тогда уравнение примет вид: $t^2 - t - 600 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$.

$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$. Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-1) + 49}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{-(-1) - 49}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку $t = 5^x$ должно быть больше нуля, корень $t_2 = -24$ не подходит (является посторонним).

Вернемся к замене, используя корень $t_1 = 25$:

$5^x = 25$

$5^x = 5^2$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

2)

Уравнение $9^x - 3^x - 6 = 0$ можно представить как $(3^2)^x - 3^x - 6 = 0$, или $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$.

Введем замену $t = 3^x$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - t - 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Корни легко находятся: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним.

Выполним обратную замену, используя $t_1 = 3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3)

Преобразуем уравнение $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0$. Заметим, что $9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{(3^x)^2}{9}$.

Уравнение принимает вид: $3^x + \frac{(3^x)^2}{9} - 810 = 0$.

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем уравнение $t + \frac{t^2}{9} - 810 = 0$. Домножим обе части на $9$, чтобы избавиться от дроби:

$9t + t^2 - 7290 = 0$

$t^2 + 9t - 7290 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7290) = 81 + 29160 = 29241$.

$\sqrt{D} = \sqrt{29241} = 171$. Корни:

$t_1 = \frac{-9 + 171}{2} = \frac{162}{2} = 81$

$t_2 = \frac{-9 - 171}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 81$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$3^x = 81$

Так как $81 = 3^4$, получаем $3^x = 3^4$, откуда $x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

4)

Рассмотрим уравнение $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0$. Преобразуем его, приведя все степени к основанию 2:

$(2^2)^x + 2^x \cdot 2^1 - 80 = 0$

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 80 = 0$

Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение сводится к квадратному: $t^2 + 2t - 80 = 0$.

Найдем корни. По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-80$. Отсюда корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -10$.

Корень $t_2 = -10$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Делаем обратную замену, используя $t_1 = 8$:

$2^x = 8$

Поскольку $8 = 2^3$, имеем $2^x = 2^3$, откуда $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.