Номер 3, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Проверь себя к главе 3 - номер 3, страница 88.

Условие.

3 Решить уравнение:

1) $3^{x+1} = 27^{x-1};$

2) $0,2^{x^2+4x-5} = 1;$

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12;$

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

1) $3^{x+1} = 27^{x-1}$
Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3, так как $27 = 3^3$.
Заменяем 27 на $3^3$ в правой части уравнения:
$3^{x+1} = (3^3)^{x-1}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^{x+1} = 3^{3(x-1)}$
$3^{x+1} = 3^{3x-3}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+1 = 3x-3$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$1+3 = 3x-x$
$4 = 2x$
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $0,2^{x^2+4x-5} = 1$
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Представим 1 в правой части как $0,2^0$.
$0,2^{x^2+4x-5} = 0,2^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2+4x-5 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
$\sqrt{D} = 6$
Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $x_1=1, x_2=-5$.

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы разложить слагаемые в левой части:
$2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^1 = 12$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (2^3 - 2^1) = 12$
Вычислим значение в скобках:
$2^x (8 - 2) = 12$
$2^x \cdot 6 = 12$
Разделим обе части уравнения на 6:
$2^x = \frac{12}{6}$
$2^x = 2$
Так как $2 = 2^1$, то:
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$
Это уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то и $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$4t^2 - 5t + 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
$\sqrt{D} = 3$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
$t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Оба корня положительны, значит, они нам подходят. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
1) Если $t=1$, то $2^x = 1$. Так как $1=2^0$, получаем $2^x = 2^0$, откуда $x=0$.
2) Если $t=\frac{1}{4}$, то $2^x = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, получаем $2^x = 2^{-2}$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x_1=0, x_2=-2$.