Номер 2, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Проверь себя к главе 3 - номер 2, страница 88.

Условие.

2 Сравнить числа:

1) $(\frac{1}{5})^{0,2}$ и $(\frac{1}{5})^{1,2}$;

2) $5^{-0,2}$ и $5^{-1,2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 8.

Для сравнения чисел в каждом из пунктов мы будем использовать свойства показательной функции $y = a^x$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. То есть, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. То есть, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

1) Сравнить числа $(\frac{1}{5})^{0,2}$ и $(\frac{1}{5})^{1,2}$.

В данном случае основание степени $a = \frac{1}{5}$.

Так как $0 < \frac{1}{5} < 1$, то показательная функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней: $0,2$ и $1,2$.

Очевидно, что $0,2 < 1,2$.

Поскольку функция убывающая, то меньшему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции. Следовательно, знак неравенства для значений функции будет противоположным знаку неравенства для аргументов.

Из того, что $0,2 < 1,2$, следует, что $(\frac{1}{5})^{0,2} > (\frac{1}{5})^{1,2}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{0,2} > (\frac{1}{5})^{1,2}$.

2) Сравнить числа $5^{-0,2}$ и $5^{-1,2}$.

В данном случае основание степени $a = 5$.

Так как $5 > 1$, то показательная функция $y = 5^x$ является возрастающей.

Теперь сравним показатели степеней: $-0,2$ и $-1,2$.

Так как $-0,2$ находится правее на числовой оси, чем $-1,2$, то $-0,2 > -1,2$.

Поскольку функция возрастающая, то большему значению аргумента (показателя степени) соответствует большее значение функции. Следовательно, знак неравенства для значений функции будет таким же, как и для аргументов.

Из того, что $-0,2 > -1,2$, следует, что $5^{-0,2} > 5^{-1,2}$.

Ответ: $5^{-0,2} > 5^{-1,2}$.