Номер 257, страница 88 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 257, страница 88.

Условие.

257 Построить график функции:

1) $y = 3^x - 1;$

2) $y = 3^{x-1};$

3) $y = 2^{2-x} + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = 3^x - 1$

Для построения графика функции $y = 3^x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Базовый график: Возьмем за основу график показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая функция, проходящая через точку $(0, 1)$, так как $3^0=1$. Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для этого графика, так как при $x \to -\infty$, $3^x \to 0$. Контрольные точки для $y_0 = 3^x$: $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.

2. Преобразование: График функции $y = 3^x - 1$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз. Это означает, что каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 - 1)$.

3. Свойства и ключевые точки нового графика:

- Горизонтальная асимптота: Асимптота $y=0$ также сдвигается на 1 единицу вниз и становится прямой $y = -1$.

- Контрольные точки: Точка $(0, 1)$ переходит в $(0, 1-1) = (0, 0)$. Это точка пересечения графика с осями координат. Точка $(1, 3)$ переходит в $(1, 3-1) = (1, 2)$. Точка $(-1, 1/3)$ переходит в $(-1, 1/3 - 1) = (-1, -2/3)$.

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (-1; +\infty)$.

Таким образом, для построения мысленно или на чертеже строим график $y=3^x$ и сдвигаем его целиком на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = 3^x - 1$ – это график функции $y = 3^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Горизонтальная асимптота – $y=-1$. График проходит через точки $(-1, -2/3)$, $(0, 0)$, $(1, 2)$.

2) $y = 3^{x-1}$

Для построения графика функции $y = 3^{x-1}$ также воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Базовый график: Основой является график функции $y_0 = 3^x$. Как и в предыдущем пункте, это возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

2. Преобразование: График функции $y = 3^{x-1}$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси $Ox$ на 1 единицу вправо. Это означает, что каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0 + 1, y_0)$.

3. Свойства и ключевые точки нового графика:

- Горизонтальная асимптота: При сдвиге вправо горизонтальная асимптота не изменяется и остается прямой $y=0$.

- Контрольные точки: Точка $(0, 1)$ переходит в $(0+1, 1) = (1, 1)$. Точка $(1, 3)$ переходит в $(1+1, 3) = (2, 3)$. Точка $(-1, 1/3)$ переходит в $(-1+1, 1/3) = (0, 1/3)$. Это точка пересечения графика с осью $Oy$.

- Пересечение с осью Ox: Функция $y = 3^{x-1}$ всегда положительна ($3^{x-1} > 0$), поэтому график не пересекает ось $Ox$.

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.

Таким образом, строим график $y=3^x$ и сдвигаем его на 1 единицу вправо.

Ответ: График функции $y = 3^{x-1}$ – это график функции $y = 3^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Горизонтальная асимптота – $y=0$. График проходит через точки $(0, 1/3)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$.

3) $y = 2^{2-x} + 3$

Для построения графика функции $y = 2^{2-x} + 3$ выполним последовательность преобразований.

1. Базовый график: Возьмем график показательной функции $y_0 = 2^x$. Это возрастающая функция, проходящая через $(0, 1)$ и $(1, 2)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.

2. Преобразования: Запишем функцию в виде $y = 2^{-(x-2)} + 3$.

а) Отражение: Сначала построим график функции $y_1 = 2^{-x}$. Он получается из графика $y_0 = 2^x$ симметричным отражением относительно оси $Oy$. График $y_1=2^{-x}$ является убывающей функцией. Он проходит через точку $(0, 1)$.

б) Горизонтальный сдвиг: Теперь построим график $y_2 = 2^{-(x-2)} = 2^{2-x}$. Он получается из графика $y_1 = 2^{-x}$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Точка $(0, 1)$ на графике $y_1$ перейдет в точку $(2, 1)$ на графике $y_2$. Асимптота $y=0$ сохраняется.

в) Вертикальный сдвиг: Наконец, построим искомый график $y = 2^{2-x} + 3$. Он получается из графика $y_2 = 2^{2-x}$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

3. Свойства и ключевые точки нового графика:

- Горизонтальная асимптота: Асимптота $y=0$ сдвигается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

- Ключевые точки: Преобразуем точки с графика $y_2$. Точка $(2, 1)$ переходит в $(2, 1+3) = (2, 4)$. Найдем еще одну точку: при $x=1$, $y=2^{2-1}+3=5$. Точка $(1, 5)$. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 2^{2-0} + 3 = 4 + 3 = 7$. Точка пересечения с $Oy$ – $(0, 7)$.

- Пересечение с осью Ox: Уравнение $2^{2-x} + 3 = 0$ не имеет решений, так как $2^{2-x} > 0$, а значит $2^{2-x} + 3 > 3$. График не пересекает ось $Ox$.

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

- Область значений: $E(y) = (3; +\infty)$.

График является убывающей показательной кривой.

Ответ: График функции $y = 2^{2-x} + 3$ получается из графика $y = 2^x$ путем следующих преобразований: отражение относительно оси $Oy$, сдвиг на 2 единицы вправо и сдвиг на 3 единицы вверх. Это убывающая функция с горизонтальной асимптотой $y=3$. График проходит через точки $(0, 7)$, $(1, 5)$, $(2, 4)$.