Номер 261, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 261, страница 89.

Условие.

261 Решить неравенство:

1) $8,4^{x^2+1} < 1$;

2) $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} (10^{3-x})^2$;

3) $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x$;

4) $\frac{1}{3^x+5} \le \frac{1}{3^{x+1}-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1$.

Представим 1 как $8,4^0$. Неравенство примет вид:

$8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 8,4^0$

Так как основание степени $8,4 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-3}{x^2+1} < 0$

Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя.

$x-3 < 0$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2) Решим неравенство $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3}(10^{3-x})^2$.

Упростим левую и правую части неравенства, используя свойства степеней $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Левая часть: $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} = (2 \cdot 5)^{x^2} = 10^{x^2}$.

Правая часть: $10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2 = 10^{-3} \cdot 10^{2(3-x)} = 10^{-3} \cdot 10^{6-2x} = 10^{-3+6-2x} = 10^{3-2x}$.

Неравенство принимает вид:

$10^{x^2} < 10^{3-2x}$

Так как основание степени $10 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x^2 < 3-2x$

$x^2 + 2x - 3 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.

$-3 < x < 1$

Ответ: $x \in (-3; 1)$.

3) Решим неравенство $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x$.

Приведем все степени к основанию 2:

$\frac{(2^2)^x - 2^x \cdot 2^1 + 8}{2^{1-x}} < (2^3)^x$

$\frac{2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8}{2^{1-x}} < 2^{3x}$

Знаменатель $2^{1-x}$ всегда положителен, поэтому умножим обе части неравенства на него, сохранив знак:

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x} \cdot 2^{1-x}$

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x+1-x}$

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x+1}$

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2 \cdot 2^{2x}$

Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t^2 - 2t + 8 < 2t^2$

$t^2 + 2t - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 > 0$ являются интервалы $t < -4$ и $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x > 2$

$2^x > 2^1$

Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{1}{3^x + 5} \le \frac{1}{3^{x+1} - 1}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю.

$3^x + 5 \neq 0$. Это выражение всегда положительно, так как $3^x > 0$.

$3^{x+1} - 1 \neq 0 \implies 3^{x+1} \neq 1 \implies 3^{x+1} \neq 3^0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{3^x + 5} - \frac{1}{3^{x+1} - 1} \le 0$

$\frac{(3^{x+1} - 1) - (3^x + 5)}{(3^x + 5)(3^{x+1} - 1)} \le 0$

Упростим числитель: $3 \cdot 3^x - 1 - 3^x - 5 = 2 \cdot 3^x - 6$.

Неравенство примет вид:

$\frac{2 \cdot 3^x - 6}{(3^x + 5)(3^{x+1} - 1)} \le 0$

Множитель $3^x+5$ в знаменателе всегда положителен, поэтому его можно отбросить, не меняя знака неравенства:

$\frac{2 \cdot 3^x - 6}{3^{x+1} - 1} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $2 \cdot 3^x - 6 = 0 \implies 2 \cdot 3^x = 6 \implies 3^x = 3 \implies x = 1$. Точка $x=1$ входит в решение.

Нуль знаменателя: $3^{x+1} - 1 = 0 \implies 3^{x+1} = 1 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$. Точка $x=-1$ не входит в решение (ОДЗ).

Рассмотрим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1]$ и $[1; +\infty)$.

При $x < -1$ (например, $x=-2$): числитель $2 \cdot 3^{-2}-6 < 0$, знаменатель $3^{-1}-1 < 0$. Дробь положительна.

При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): числитель $2 \cdot 3^0-6 < 0$, знаменатель $3^1-1 > 0$. Дробь отрицательна.

При $x > 1$ (например, $x=2$): числитель $2 \cdot 3^2-6 > 0$, знаменатель $3^3-1 > 0$. Дробь положительна.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Это выполняется при $-1 < x \le 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1]$.