Номер 265, страница 89 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 3. Показательная функция. Упражнения к главе 3 - номер 265, страница 89.

Условие.

265 Решить неравенство:

1) $3^{|x-2|} < 9;$

2) $4^{|x+1|} > 16;$

3) $2^{|x-2|} > 4^{|x+1|};$

4) $5^{|x+4|} < 25^{|x|}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{|x-2|} < 9$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, неравенство можно переписать в виде:

$3^{|x-2|} < 3^2$

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$|x-2| < 2$

Это неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < x-2 < 2$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-2 + 2 < x - 2 + 2 < 2 + 2$

$0 < x < 4$

Решением является интервал. Ответ: $x \in (0, 4)$.

2) $4^{|x+1|} > 16$

Представим число 16 как степень с основанием 4: $16 = 4^2$. Неравенство принимает вид:

$4^{|x+1|} > 4^2$

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$|x+1| > 2$

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

$x+1 > 2$ или $x+1 < -2$

Решаем каждое из этих неравенств по отдельности:

Из первого неравенства получаем $x > 2 - 1$, то есть $x > 1$.

Из второго неравенства получаем $x < -2 - 1$, то есть $x < -3$.

Объединяя эти два решения, получаем итоговый ответ. Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

3) $2^{|x-2|} > 4^{|x+1|}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Поскольку $4 = 2^2$, неравенство можно записать как:

$2^{|x-2|} > (2^2)^{|x+1|}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$2^{|x-2|} > 2^{2|x+1|}$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$|x-2| > 2|x+1|$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится:

$(x-2)^2 > (2(x+1))^2$

$x^2 - 4x + 4 > 4(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 > 4x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 > 3x^2 + 12x$

или $3x^2 + 12x < 0$. Разделим обе части на 3:

$x^2 + 4x < 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+4) < 0$.

Корнями уравнения $x(x+4)=0$ являются $x=0$ и $x=-4$. Графиком функции $y=x(x+4)$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-4, 0)$. Ответ: $x \in (-4, 0)$.

4) $5^{|x+4|} < 25^{|x|}$

Приведем обе части к основанию 5. Так как $25 = 5^2$, неравенство переписывается в виде:

$5^{|x+4|} < (5^2)^{|x|}$

$5^{|x+4|} < 5^{2|x|}$

Основание степени $5 > 1$, поэтому переходим к неравенству для показателей с сохранением знака:

$|x+4| < 2|x|$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(x+4)^2 < (2x)^2$

$x^2 + 8x + 16 < 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$0 < 3x^2 - 8x - 16$

Решим уравнение $3x^2 - 8x - 16 = 0$ для нахождения корней. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = (-8)^2 - 4(3)(-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 16}{6}$

$x_1 = \frac{8+16}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{8-16}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 - 8x - 16$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - 8x - 16 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение: $x < -4/3$ или $x > 4$. Ответ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (4, +\infty)$.