Номер 272, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 272, страница 92.

Условие.

272 1) $log_5 625$;

2) $log_6 216$;

3) $log_4 \frac{1}{16}$;

4) $log_5 \frac{1}{125}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить $ \log_5 625 $, необходимо найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание логарифма (5), чтобы получить число под логарифмом (625). То есть, нужно решить уравнение $ 5^x = 625 $.
Представим число 625 в виде степени с основанием 5. Мы знаем, что:
$ 5^1 = 5 $
$ 5^2 = 25 $
$ 5^3 = 125 $
$ 5^4 = 625 $
Таким образом, уравнение принимает вид $ 5^x = 5^4 $.
Отсюда следует, что $ x = 4 $.
Значит, $ \log_5 625 = 4 $.
Ответ: 4

2) Чтобы вычислить $ \log_6 216 $, найдем степень $x$, для которой выполняется равенство $ 6^x = 216 $.
Представим число 216 в виде степени с основанием 6:
$ 216 = 6 \cdot 36 = 6 \cdot 6^2 = 6^3 $.
Получаем уравнение $ 6^x = 6^3 $.
Следовательно, $ x = 3 $.
Значит, $ \log_6 216 = 3 $.
Ответ: 3

3) Для вычисления $ \log_4 \frac{1}{16} $ нужно решить уравнение $ 4^x = \frac{1}{16} $.
Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ и представим $ \frac{1}{16} $ в виде степени с основанием 4.
Так как $ 16 = 4^2 $, то $ \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2} $.
Уравнение принимает вид $ 4^x = 4^{-2} $.
Отсюда $ x = -2 $.
Значит, $ \log_4 \frac{1}{16} = -2 $.
Ответ: -2

4) Для вычисления $ \log_5 \frac{1}{125} $ решим уравнение $ 5^x = \frac{1}{125} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, представим $ \frac{1}{125} $ в виде степени с основанием 5.
Так как $ 125 = 5^3 $, то $ \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} $.
Уравнение принимает вид $ 5^x = 5^{-3} $.
Отсюда $ x = -3 $.
Значит, $ \log_5 \frac{1}{125} = -3 $.
Ответ: -3