Номер 269, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 269, страница 92.

Условие.

269 1) $\log_3 27;$

2) $\log_3 81;$

3) $\log_3 3;$

4) $\log_3 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение $\log_3 27$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание логарифма (число 3), чтобы получить аргумент логарифма (число 27). Обозначим искомое значение как $x$. Тогда, по определению логарифма, выражение $\log_3 27 = x$ эквивалентно уравнению $3^x = 27$. Мы знаем, что 27 является третьей степенью числа 3, так как $3 \times 3 \times 3 = 27$. Таким образом, $3^3 = 27$, откуда следует, что $x=3$.

Ответ: 3

2) Для вычисления $\log_3 81$ найдем показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 81. Запишем это в виде уравнения: $3^x = 81$. Представим 81 как степень числа 3. Так как $81 = 9 \times 9 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^4$. Следовательно, наше уравнение принимает вид $3^x = 3^4$. Приравнивая показатели степеней, получаем $x=4$.

Ответ: 4

3) Выражение $\log_3 3$ означает поиск степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить то же самое число 3. То есть, мы решаем уравнение $3^x = 3$. Очевидно, что $x=1$, так как любое число в первой степени равно самому себе. Это также является одним из основных свойств логарифмов, которое гласит, что логарифм числа по основанию, равному этому числу, всегда равен единице: $\log_a a = 1$.

Ответ: 1

4) Чтобы найти $\log_3 1$, необходимо определить, в какую степень нужно возвести основание 3, чтобы в результате получить 1. Запишем соответствующее уравнение: $3^x = 1$. Согласно основному свойству степеней, любое действительное число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$). В нашем случае, $3^0 = 1$, поэтому $x=0$. Это общее свойство для всех логарифмов: логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю: $\log_a 1 = 0$.

Ответ: 0