Номер 270, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 270, страница 92.

Условие.

270 1) $\log_3 \frac{1}{9}$;

2) $\log_3 \frac{1}{3}$;

3) $\log_3 \sqrt[4]{3}$;

4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{9} $ воспользуемся определением логарифма. Логарифм $ \log_a b = c $ — это показатель степени $ c $, в которую нужно возвести основание $ a $, чтобы получить число $ b $. То есть, $ a^c = b $.
Пусть $ \log_3 \frac{1}{9} = x $. Тогда по определению логарифма $ 3^x = \frac{1}{9} $.
Представим $ \frac{1}{9} $ в виде степени с основанием 3. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.
Получаем уравнение: $ 3^x = 3^{-2} $.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $ x = -2 $.
Следовательно, $ \log_3 \frac{1}{9} = -2 $.
Ответ: -2

2) Найдем значение $ \log_3 \frac{1}{3} $. Пусть $ \log_3 \frac{1}{3} = x $.
По определению логарифма это означает, что $ 3^x = \frac{1}{3} $.
Используя свойство степеней $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, представим $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $.
Получаем уравнение: $ 3^x = 3^{-1} $.
Отсюда следует, что $ x = -1 $.
Таким образом, $ \log_3 \frac{1}{3} = -1 $.
Ответ: -1

3) Вычислим $ \log_3 \sqrt[4]{3} $. Пусть $ \log_3 \sqrt[4]{3} = x $.
Согласно определению логарифма, $ 3^x = \sqrt[4]{3} $.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $, поэтому $ \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} $.
Получаем уравнение: $ 3^x = 3^{\frac{1}{4}} $.
Так как основания равны, приравниваем показатели: $ x = \frac{1}{4} $.
Следовательно, $ \log_3 \sqrt[4]{3} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

4) Найдем значение $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}} $. Пусть $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = x $.
По определению логарифма, $ 3^x = \frac{1}{\sqrt[4]{3}} $.
Сначала представим знаменатель $ \sqrt[4]{3} $ в виде степени: $ \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} $.
Теперь подставим это в наше выражение: $ \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}} $.
Используя свойство отрицательной степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, получаем: $ \frac{1}{3^{\frac{1}{4}}} = 3^{-\frac{1}{4}} $.
Таким образом, наше уравнение принимает вид: $ 3^x = 3^{-\frac{1}{4}} $.
Отсюда $ x = -\frac{1}{4} $.
Значит, $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = -\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $