Номер 271, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 271, страница 92.

Условие.

271 1) $log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$;

2) $log_{\frac{1}{2}} 4$;

3) $log_{0,5} 0,125$;

4) $log_{0,5} \frac{1}{2}$;

5) $log_{0,5} 1$;

6) $log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение $log_{1/2} \frac{1}{32}$, обозначим его за $x$: $log_{1/2} \frac{1}{32} = x$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно показательному уравнению $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $32 = 2^5$, то $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$. Теперь уравнение имеет вид $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^5$. Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x = 5$.
Ответ: 5

2) Обозначим искомое значение как $x$: $log_{1/2} 4 = x$. Согласно определению логарифма, получаем уравнение $(\frac{1}{2})^x = 4$. Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к 2. Мы знаем, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$. Подставив эти значения в уравнение, получим $(2^{-1})^x = 2^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем левую часть: $2^{-x} = 2^2$. Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней: $-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: -2

3) Для вычисления $log_{0,5} 0,125$ сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные. $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Таким образом, выражение принимает вид $log_{1/2} \frac{1}{8}$. Пусть $log_{1/2} \frac{1}{8} = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$. Уравнение становится $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$. Отсюда следует, что $x=3$.
Ответ: 3

4) Для вычисления $log_{0,5} \frac{1}{2}$ преобразуем основание $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$. Выражение принимает вид $log_{1/2} \frac{1}{2}$. Согласно свойству логарифма $log_a a = 1$, логарифм числа, равного основанию, всегда равен единице. В данном случае и основание, и число под знаком логарифма равны $\frac{1}{2}$, поэтому значение выражения равно 1.
Ответ: 1

5) Для вычисления $log_{0,5} 1$ воспользуемся свойством логарифма $log_a 1 = 0$. Это свойство гласит, что логарифм единицы по любому допустимому основанию (положительному и не равному 1) равен нулю. Основание $0,5$ удовлетворяет этим условиям. Следовательно, $log_{0,5} 1 = 0$. Это следует из определения логарифма: если $log_{0,5} 1 = x$, то $(0,5)^x = 1$, что выполняется только при $x=0$.
Ответ: 0

6) Обозначим $log_{1/2} \sqrt[3]{2}$ как $x$. По определению логарифма, это означает, что $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{2}$. Приведем обе части уравнения к основанию 2. Основание логарифма $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Аргумент логарифма $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$. Подставляем эти значения в уравнение: $(2^{-1})^x = 2^{1/3}$. Упрощаем левую часть, используя свойство степени: $2^{-x} = 2^{1/3}$. Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели: $-x = \frac{1}{3}$, откуда $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$