Номер 268, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 268, страница 92.

Условие.

268 1) $\log_2 \frac{1}{2}$;

2) $\log_2 \frac{1}{8}$;

3) $\log_2 \sqrt{2}$;

4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы вычислить $ \log_2 \frac{1}{2} $, необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма (2), чтобы получить число под знаком логарифма ($ \frac{1}{2} $).
Представим число $ \frac{1}{2} $ в виде степени с основанием 2. Используя свойство степеней $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:
$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1} $
Теперь подставим это выражение в логарифм:
$ \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 (2^{-1}) $
Согласно основному свойству логарифма $ \log_a (a^c) = c $, значение этого выражения равно показателю степени.
$ \log_2 (2^{-1}) = -1 $
Ответ: -1

2)

Чтобы вычислить $ \log_2 \frac{1}{8} $, представим число $ \frac{1}{8} $ в виде степени с основанием 2.
Сначала представим число 8 как степень двойки: $ 8 = 2^3 $.
Теперь преобразуем дробь $ \frac{1}{8} $:
$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $
Подставим полученное выражение в логарифм:
$ \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) $
Используя свойство $ \log_a (a^c) = c $, получаем:
$ \log_2 (2^{-3}) = -3 $
Ответ: -3

3)

Чтобы вычислить $ \log_2 \sqrt{2} $, представим $ \sqrt{2} $ в виде степени с основанием 2.
Квадратный корень можно представить в виде степени с показателем $ \frac{1}{2} $:
$ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} $
Подставим это в исходное выражение:
$ \log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{\frac{1}{2}}) $
Применяя свойство логарифма $ \log_a (a^c) = c $, находим значение:
$ \log_2 (2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

4)

Чтобы вычислить $ \log_2 \frac{1}{\sqrt[4]{2}} $, представим выражение $ \frac{1}{\sqrt[4]{2}} $ в виде степени с основанием 2.
Сначала преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем:
$ \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}} $
Теперь преобразуем дробь, используя свойство отрицательной степени:
$ \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{-\frac{1}{4}} $
Подставим это в логарифм:
$ \log_2 \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \log_2 (2^{-\frac{1}{4}}) $
По свойству $ \log_a (a^c) = c $, получаем:
$ \log_2 (2^{-\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4} $
Ответ: $ -\frac{1}{4} $