Номер 273, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 273, страница 92.

Условие.

273 1) $ \log_{\frac{1}{5}} 125; $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} 27; $

3) $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}; $

4) $ \log_{\frac{1}{6}} 36. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить $ \log_{\frac{1}{5}} 125 $, необходимо найти такую степень $ x $, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{5} $, чтобы получить число $ 125 $. Запишем это в виде уравнения: $ (\frac{1}{5})^x = 125 $.

Представим обе части уравнения с одинаковым основанием $ 5 $. Мы знаем, что $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и $ 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 $.

Подставим эти значения в уравнение: $ (5^{-1})^x = 5^3 $.

Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, получаем: $ 5^{-x} = 5^3 $.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = 3 $. Отсюда находим $ x = -3 $.

Ответ: $ -3 $

2) Найдем значение $ \log_{\frac{1}{3}} 27 $. Обозначим его за $ x $. По определению логарифма, это означает, что $ (\frac{1}{3})^x = 27 $.

Приведем обе части уравнения к основанию $ 3 $. Нам известно, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 27 = 3^3 $.

Наше уравнение принимает вид: $ (3^{-1})^x = 3^3 $.

Упростим левую часть, используя свойство степеней: $ 3^{-x} = 3^3 $.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $ -x = 3 $. Следовательно, $ x = -3 $.

Ответ: $ -3 $

3) Вычислим $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} $. Пусть это значение равно $ x $. Из определения логарифма следует, что $ (\frac{1}{4})^x = \frac{1}{64} $.

Наша задача — представить правую часть уравнения как степень с основанием $ \frac{1}{4} $. Мы знаем, что $ 64 = 4^3 $. Следовательно, $ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = (\frac{1}{4})^3 $.

Теперь уравнение выглядит так: $ (\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{4})^3 $.

Поскольку основания в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны: $ x = 3 $.

Ответ: $ 3 $

4) Решим задачу $ \log_{\frac{1}{6}} 36 $. Обозначим искомое значение через $ x $. Согласно определению логарифма, мы ищем такое число $ x $, что $ (\frac{1}{6})^x = 36 $.

Приведем обе части уравнения к общему основанию $ 6 $. Известно, что $ \frac{1}{6} = 6^{-1} $ и $ 36 = 6^2 $.

Подставим эти выражения в уравнение: $ (6^{-1})^x = 6^2 $.

Применяя свойство $ (a^m)^n = a^{mn} $ к левой части, получаем: $ 6^{-x} = 6^2 $.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = 2 $. Отсюда получаем $ x = -2 $.

Ответ: $ -2 $