Номер 279, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 279, страница 93.

Условие.

Вычислить (279—281).

279 1) $\log_2 \sqrt[4]{2}$;

2) $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}};

3) $\log_{0.5} \frac{1}{\sqrt{32}};

4) $\log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить $\log_2 \sqrt[4]{2}$, необходимо представить аргумент логарифма в виде степени с основанием 2.
По определению корня, $\sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$.
Подставим это выражение в логарифм:
$\log_2 \sqrt[4]{2} = \log_2 (2^{1/4})$
Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$\log_2 (2^{1/4}) = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Чтобы вычислить $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$, представим аргумент логарифма в виде степени с основанием 3.
Сначала преобразуем знаменатель: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2}$.
Подставим это в логарифм:
$\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} = \log_3 (3^{-3/2})$
По свойству $\log_a(a^x) = x$:
$\log_3 (3^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$.

3) Чтобы вычислить $\log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}}$, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Аргумент: $\frac{1}{\sqrt{32}}$. Сначала представим 32 как степень 2: $32 = 2^5$. Тогда $\sqrt{32} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2}$.
Теперь логарифм имеет вид:
$\log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}} = \log_{2^{-1}} (2^{-5/2})$
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} (a^m) = \frac{m}{k}$:
$\log_{2^{-1}} (2^{-5/2}) = \frac{-5/2}{-1} = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

4) Чтобы вычислить $\log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$, представим аргумент логарифма в виде степени с основанием 7.
Преобразуем числитель и знаменатель дроби:
Числитель: $\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$.
Знаменатель: $49 = 7^2$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{\sqrt[3]{7}}{49} = \frac{7^{1/3}}{7^2} = 7^{1/3 - 2} = 7^{1/3 - 6/3} = 7^{-5/3}$.
Подставим полученное выражение в логарифм:
$\log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49} = \log_7 (7^{-5/3})$
По свойству $\log_a(a^x) = x$:
$\log_7 (7^{-5/3}) = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.