Номер 280, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 280, страница 93.

Условие.

280 1) $9^{2 \log_3 5}$;

2) $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_3 4}$;

3) $(\frac{1}{4})^{-5 \log_2 3}$;

4) $27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5}$;

5) $10^{3 - \log_{10} 5}$;

6) $(\frac{1}{7})^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения используем свойства степеней и логарифмов. Сначала представим основание степени 9 как $3^2$: $9^{2 \log_3 5} = (3^2)^{2 \log_3 5}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем: $3^{2 \cdot 2 \log_3 5} = 3^{4 \log_3 5}$. Далее, используем свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$: $3^{4 \log_3 5} = 3^{\log_3 5^4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем: $3^{\log_3 5^4} = 5^4$. Вычисляем результат: $5^4 = 625$. Ответ: $625$.

2)

Представим основание степени $\frac{1}{9}$ как $3^{-2}$. Выражение принимает вид: $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_3 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2} \log_3 4}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем: $3^{-2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 4} = 3^{-\log_3 4}$. Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, имеем: $3^{\log_3 4^{-1}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $4^{-1}$. Вычисляем результат: $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$.

3)

Представим основание степени $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$. Выражение принимает вид: $(\frac{1}{4})^{-5 \log_2 3} = (2^{-2})^{-5 \log_2 3}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{(-2) \cdot (-5 \log_2 3)} = 2^{10 \log_2 3}$. По свойству логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$: $2^{\log_2 3^{10}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем $3^{10}$. Вычисляем результат: $3^{10} = 59049$. Ответ: $59049$.

4)

Преобразуем основание степени 27 и основание логарифма $\frac{1}{3}$: $27 = 3^3$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = -1 \cdot \log_3 5 = -\log_3 5$. Подставим в исходное выражение: $27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = (3^3)^{-4(-\log_3 5)} = (3^3)^{4 \log_3 5}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{3 \cdot 4 \log_3 5} = 3^{12 \log_3 5}$. По свойству логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$: $3^{\log_3 5^{12}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем $5^{12}$. Вычисляем результат: $5^{12} = 244140625$. Ответ: $244140625$.

5)

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $10^{3 - \log_{10} 5} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 5}}$. В знаменателе используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Так как основание десятичного логарифма равно 10, получаем $10^{\log_{10} 5} = 5$. Вычисляем результат: $\frac{10^3}{5} = \frac{1000}{5} = 200$. Ответ: $200$.

6)

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{7})^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^1 \cdot (\frac{1}{7})^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3}$. Упростим второй множитель. Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$: $(\frac{1}{7})^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 3^2} = (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 9}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем, что $(\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 9} = 9$. Тогда исходное выражение равно $\frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7}$. Ответ: $\frac{9}{7}$.