Номер 282, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 282, страница 93.

Условие.

282 Решить уравнение:

1) $\log_x 27 = 3;$

2) $\log_x \frac{1}{7} = -1;$

3) $\log_x \sqrt{5} = -4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \log_{x} 27 = 3; $

Для решения данного уравнения воспользуемся определением логарифма: $ \log_{a} b = c $ равносильно $ a^c = b $. При этом на основание логарифма $a$ накладываются ограничения: $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $.

Применим определение к нашему уравнению:

$ x^3 = 27 $

Чтобы найти $x$, нужно найти число, которое при возведении в третью степень дает 27. Таким числом является 3, поскольку $ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 $.

$ x = 3 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям для основания логарифма: $ 3 > 0 $ и $ 3 \neq 1 $. Условия выполнены.

Ответ: 3

2) $ \log_{x} \frac{1}{7} = -1; $

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в показательной форме:

$ x^{-1} = \frac{1}{7} $

По свойству степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, имеем $ x^{-1} = \frac{1}{x} $.

Тогда уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{x} = \frac{1}{7} $

Из этого равенства следует, что $ x = 7 $.

Проверим условия для основания логарифма: $ 7 > 0 $ и $ 7 \neq 1 $. Условия выполнены.

Ответ: 7

3) $ \log_{x} \sqrt{5} = -4. $

Перейдем от логарифмического уравнения к показательному по определению логарифма:

$ x^{-4} = \sqrt{5} $

Представим корень и отрицательную степень в виде степеней с рациональным показателем: $ \sqrt{5} = 5^{1/2} $.

Уравнение примет вид:

$ x^{-4} = 5^{1/2} $

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $ -\frac{1}{4} $:

$ (x^{-4})^{-\frac{1}{4}} = (5^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{4}} $

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$ x^{(-4) \cdot (-\frac{1}{4})} = 5^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4})} $

$ x^1 = 5^{-\frac{1}{8}} $

$ x = 5^{-\frac{1}{8}} $

Это значение также можно записать в виде $ x = \frac{1}{\sqrt[8]{5}} $. Проверим условия для основания логарифма. Полученное значение $x$ является положительным и не равно единице, следовательно, является решением.

Ответ: $ 5^{-\frac{1}{8}} $