Номер 289, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 289, страница 93.

Условие.

289 Решить относительно x уравнение $9^x + 9a (1-a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $9^x + 9a(1-a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0$ является показательным уравнением относительно переменной $x$ с параметром $a$. Для его решения преобразуем уравнение, используя свойства степеней.

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:$(3^x)^2 + 9a(1-a) \cdot \frac{3^x}{9} - a^3 = 0$

После сокращения на 9, уравнение принимает вид:$(3^x)^2 + a(1-a) \cdot 3^x - a^3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то должно выполняться условие $t > 0$.После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:$t^2 + (a-a^2)t - a^3 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант $D$:$D = (a-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^3) = a^2(1-a)^2 + 4a^3 = a^2(1-2a+a^2) + 4a^3 = a^2 - 2a^3 + a^4 + 4a^3 = a^4 + 2a^3 + a^2$

Дискриминант можно представить в виде полного квадрата:$D = a^2(a^2+2a+1) = a^2(a+1)^2 = (a(a+1))^2$

Корни уравнения для $t$ находятся по формуле:$t = \frac{-(a-a^2) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{a^2-a \pm \sqrt{(a(a+1))^2}}{2} = \frac{a^2-a \pm |a(a+1)|}{2}$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля, но можно заметить, что в любом случае корнями будут $t_1=a^2$ и $t_2=-a$. Проверим это, подставив их в уравнение $(t-t_1)(t-t_2)=0$:$(t - a^2)(t - (-a)) = (t - a^2)(t + a) = t^2 + at - a^2t - a^3 = t^2 + (a-a^2)t - a^3 = 0$.Это совпадает с нашим уравнением для $t$.Итак, мы получили два корня для $t$: $t_1 = a^2$ и $t_2 = -a$.

Теперь вернемся к замене $t = 3^x$ и учтем условие $t > 0$.1. $3^x = t_1 \implies 3^x = a^2$2. $3^x = t_2 \implies 3^x = -a$

Проанализируем наличие решений для $x$ в зависимости от значений параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$

В этом случае $a^2 > 0$, поэтому уравнение $3^x = a^2$ имеет единственный корень $x = \log_3(a^2) = 2\log_3(a)$.Выражение $-a$ отрицательно ($-a < 0$), поэтому уравнение $3^x = -a$ не имеет действительных корней.Таким образом, при $a > 0$ исходное уравнение имеет один корень.

Случай 2: $a = 0$

Исходное уравнение принимает вид $9^x = 0$, которое не имеет решений.Если подставить $a=0$ в выражения для $t$, получим $t_1 = 0^2 = 0$ и $t_2 = -0 = 0$. Уравнение $3^x=0$ не имеет решений.Таким образом, при $a = 0$ корней нет.

Случай 3: $a < 0$

В этом случае $a^2 > 0$, поэтому уравнение $3^x = a^2$ имеет корень $x_1 = \log_3(a^2) = 2\log_3|a|$.Также, в этом случае $-a > 0$, поэтому уравнение $3^x = -a$ тоже имеет корень $x_2 = \log_3(-a)$.Итак, при $a < 0$ возможно наличие двух корней. Проверим, могут ли они совпадать:$x_1 = x_2 \iff a^2 = -a \iff a^2+a=0 \iff a(a+1)=0$.Так как мы рассматриваем $a < 0$, то совпадение корней происходит только при $a = -1$.

• Если $a = -1$, то $x_1 = \log_3((-1)^2) = \log_3(1) = 0$ и $x_2 = \log_3(-(-1)) = \log_3(1) = 0$. Корни совпадают. Уравнение имеет один корень $x=0$.
• Если $a < 0$ и $a \neq -1$, то корни $x_1 = 2\log_3|a|$ и $x_2 = \log_3(-a)$ различны. Уравнение имеет два корня.

Ответ:

• при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$ уравнение имеет два корня: $x_1 = 2\log_3|a|$, $x_2 = \log_3(-a)$;
• при $a = -1$ уравнение имеет один корень: $x = 0$;
• при $a > 0$ уравнение имеет один корень: $x = 2\log_3(a)$;
• при $a = 0$ уравнение не имеет корней.