Номер 291, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 291, страница 95.

Условие.

291 1) $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16};$

2) $\log_5 75 - \log_5 3;$

3) $\log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2;$

4) $\log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{2} 15 - \log_{2} \frac{15}{16}$

Для решения этого выражения воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\log_{2} 15 - \log_{2} \frac{15}{16} = \log_{2} (15 : \frac{15}{16})$

Теперь выполним деление в аргументе логарифма:

$15 : \frac{15}{16} = 15 \cdot \frac{16}{15} = 16$

Получаем:

$\log_{2} 16$

Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание 2, чтобы получить 16? Так как $2^4 = 16$, то:

$\log_{2} 16 = 4$

Ответ: 4

2) $\log_{5} 75 - \log_{5} 3$

Используем то же свойство разности логарифмов: $\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}$.

$\log_{5} 75 - \log_{5} 3 = \log_{5} \frac{75}{3}$

Выполним деление:

$\frac{75}{3} = 25$

Получаем:

$\log_{5} 25$

Так как $5^2 = 25$, то:

$\log_{5} 25 = 2$

Ответ: 2

3) $\log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2$

Снова применяем свойство разности логарифмов:

$\log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{54}{2}$

Выполним деление:

$\frac{54}{2} = 27$

Получаем:

$\log_{\frac{1}{3}} 27$

Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 27 = x$. По определению логарифма, это означает, что $(\frac{1}{3})^x = 27$.

Представим обе части уравнения как степени числа 3:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.

Тогда уравнение примет вид:

$(3^{-1})^x = 3^3$

$3^{-x} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: -3

4) $\log_{8} \frac{1}{16} - \log_{8} 32$

Применяем свойство разности логарифмов:

$\log_{8} \frac{1}{16} - \log_{8} 32 = \log_{8} (\frac{1}{16} : 32)$

Выполним деление в аргументе логарифма:

$\frac{1}{16} : 32 = \frac{1}{16 \cdot 32} = \frac{1}{512}$

Выражение принимает вид:

$\log_{8} \frac{1}{512}$

Пусть $\log_{8} \frac{1}{512} = x$. По определению логарифма, $8^x = \frac{1}{512}$.

Мы знаем, что $512 = 8^3$. Тогда $\frac{1}{512} = \frac{1}{8^3} = 8^{-3}$.

Уравнение принимает вид:

$8^x = 8^{-3}$

Следовательно, $x = -3$.

Ответ: -3