Номер 294, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 294, страница 95.

Условие.

294 1) $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$;

2) $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$;

3) $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9}$;

4) $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством логарифмов, известным как формула перехода к новому основанию: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.

Применив эту формулу, получим:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8$

Чтобы вычислить $\log_{16} 8$, можно найти, в какую степень нужно возвести 16, чтобы получить 8. Пусть это будет $x$: $16^x = 8$.

Представим 16 и 8 как степени числа 2: $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.

Тогда уравнение примет вид:

$(2^4)^x = 2^3$

$2^{4x} = 2^3$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$

Другой способ решения — использовать свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \log_a b$:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \frac{\log_3 (2^3)}{\log_3 (2^4)} = \frac{3 \log_3 2}{4 \log_3 2}$

Сократив $\log_3 2$ в числителе и знаменателе, получаем $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Аналогично первому пункту, применим формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \log_9 27$

Чтобы найти значение $\log_9 27$, определим, в какую степень нужно возвести 9, чтобы получить 27. Пусть $9^x = 27$.

Представим 9 и 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

$(3^2)^x = 3^3$

$3^{2x} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$ или 1,5.

Используя свойство логарифма степени:

$\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \frac{\log_5 (3^3)}{\log_5 (3^2)} = \frac{3 \log_5 3}{2 \log_5 3} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

3) Сначала упростим числитель, используя свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_5 36 - \log_5 12 = \log_5 \frac{36}{12} = \log_5 3$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{\log_5 3}{\log_5 9}$

Применим формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$\frac{\log_5 3}{\log_5 9} = \log_9 3$

Чтобы найти значение $\log_9 3$, решим уравнение $9^x = 3$.

Так как $\sqrt{9} = 3$, то $x = \frac{1}{2}$.

Другой способ, используя свойство логарифма степени для знаменателя:

$\frac{\log_5 3}{\log_5 9} = \frac{\log_5 3}{\log_5 (3^2)} = \frac{\log_5 3}{2 \log_5 3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Упростим знаменатель, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 \frac{15}{30} = \log_7 \frac{1}{2}$

Выражение принимает вид:

$\frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}}$

По формуле перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$ получаем:

$\log_{1/2} 8$

Найдем, в какую степень нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 8. Пусть $(\frac{1}{2})^x = 8$.

Представим обе части как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$.

$(2^{-1})^x = 2^3$

$2^{-x} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Альтернативный путь решения через свойство логарифма степени:

$\frac{\log_7 8}{\log_7 (1/2)} = \frac{\log_7 (2^3)}{\log_7 (2^{-1})} = \frac{3 \log_7 2}{-1 \log_7 2} = \frac{3}{-1} = -3$

Ответ: -3