Номер 299, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 299, страница 96.

Условие.

299 Доказать, что если $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $p \neq 0$, то $\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$. Используя эту формулу, вычислить:

1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3$

2) $2 \log_{25} 30 + \log_{0,2} 6$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Сначала докажем, что если $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $p \neq 0$, то $\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$.

Пусть $x = \log_{a^p} b$. По определению логарифма, это равенство означает, что $(a^p)^x = b$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем переписать это как $a^{px} = b$.

Теперь возьмем логарифм по основанию $a$ от обеих частей равенства: $\log_a(a^{px}) = \log_a b$.

Согласно свойству логарифма $\log_c(c^k) = k$, левая часть упрощается до $px$. Таким образом, мы получаем $px = \log_a b$.

Так как по условию $p \neq 0$, мы можем разделить обе части на $p$: $x = \frac{1}{p} \log_a b$.

Поскольку мы изначально определили $x = \log_{a^p} b$, мы можем подставить это обратно и получить искомую формулу: $\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$. Что и требовалось доказать.

---

Теперь, используя эту формулу, вычислим значения выражений.

1) $\log_{36} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3$

Преобразуем каждый логарифм, чтобы привести их к одному основанию. В качестве общего основания выберем 6.

Для первого слагаемого: $36 = 6^2$. Используя доказанную формулу, получаем: $\log_{36} 2 = \log_{6^2} 2 = \frac{1}{2} \log_6 2$.

Для второго слагаемого: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$. Снова используем формулу: $\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = -\log_6 3$.

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное: $\log_{36} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3 = \frac{1}{2} \log_6 2 - \frac{1}{2} (-\log_6 3) = \frac{1}{2} \log_6 2 + \frac{1}{2} \log_6 3$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и используем свойство суммы логарифмов $\log_c x + \log_c y = \log_c(xy)$: $\frac{1}{2} (\log_6 2 + \log_6 3) = \frac{1}{2} \log_6(2 \cdot 3) = \frac{1}{2} \log_6 6$.

Так как $\log_6 6 = 1$, окончательный результат: $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $2 \log_{25} 30 + \log_{0,2} 6$

Приведем логарифмы к общему основанию. В данном случае удобно использовать основание 5.

Преобразуем первое слагаемое: $25 = 5^2$. $2 \log_{25} 30 = 2 \log_{5^2} 30 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \log_5 30\right) = \log_5 30$.

Преобразуем второе слагаемое: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. $\log_{0,2} 6 = \log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1} \log_5 6 = -\log_5 6$.

Подставим преобразованные выражения в исходное: $2 \log_{25} 30 + \log_{0,2} 6 = \log_5 30 - \log_5 6$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_c x - \log_c y = \log_c\left(\frac{x}{y}\right)$: $\log_5\left(\frac{30}{6}\right) = \log_5 5$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем результат.

Ответ: $1$