Номер 300, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 300, страница 96.

Условие.

300 Выразить через $a$ и $b$:

1) $\log_{\sqrt{3}} 50$, если $\log_3 15 = a$, $\log_3 10 = b$;

2) $\log_4 1250$, если $\log_2 5 = a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано: $\log_3 15 = a$ и $\log_3 10 = b$. Необходимо выразить $\log_{\sqrt{3}} 50$.

Сначала приведем искомый логарифм к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$.

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{\log_3 50}{\log_3 \sqrt{3}}$

Рассмотрим знаменатель дроби:

$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2}$

Теперь преобразуем числитель. Для этого нам нужно выразить логарифмы простых чисел (2 и 5) через данные $a$ и $b$.

Из условия $\log_3 15 = a$ получаем:

$\log_3 (3 \cdot 5) = a$
$\log_3 3 + \log_3 5 = a$
$1 + \log_3 5 = a$
Отсюда, $\log_3 5 = a - 1$.

Из условия $\log_3 10 = b$ получаем:

$\log_3 (2 \cdot 5) = b$
$\log_3 2 + \log_3 5 = b$
Подставляем найденное ранее выражение для $\log_3 5$:
$\log_3 2 + (a - 1) = b$
Отсюда, $\log_3 2 = b - a + 1$.

Теперь мы можем выразить числитель $\log_3 50$:

$\log_3 50 = \log_3 (2 \cdot 25) = \log_3 (2 \cdot 5^2) = \log_3 2 + 2\log_3 5$

Подставим выражения для $\log_3 2$ и $\log_3 5$:

$\log_3 50 = (b - a + 1) + 2(a - 1) = b - a + 1 + 2a - 2 = a + b - 1$

Наконец, подставляем найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$\log_{\sqrt{3}} 50 = \frac{a + b - 1}{1/2} = 2(a + b - 1)$

Ответ: $2(a + b - 1)$.

2)

Дано: $\log_2 5 = a$. Необходимо выразить $\log_4 1250$.

Приведем логарифм к основанию 2, так как в условии дан логарифм с основанием 2. Используем формулу перехода к новому основанию:

$\log_4 1250 = \frac{\log_2 1250}{\log_2 4}$

Вычислим знаменатель:

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

Теперь преобразуем числитель. Для этого разложим число 1250 на простые множители, чтобы использовать $\log_2 5$ и $\log_2 2$:

$1250 = 125 \cdot 10 = 5^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^4$

Теперь преобразуем логарифм числителя:

$\log_2 1250 = \log_2 (2 \cdot 5^4) = \log_2 2 + \log_2 5^4 = 1 + 4\log_2 5$

Подставим данное в условии значение $\log_2 5 = a$:

$\log_2 1250 = 1 + 4a$

Теперь объединим числитель и знаменатель:

$\log_4 1250 = \frac{1 + 4a}{2}$

Ответ: $\frac{1 + 4a}{2}$.