Номер 297, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 297, страница 96.

Условие.

297 Найти x по данному его логарифму ($a > 0, b > 0$):

1) $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b;$

2) $\log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b;$

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b;$

4) $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных уравнений мы будем использовать основные свойства логарифмов:
1. Свойство степени: $ n \log_c k = \log_c (k^n) $
2. Свойство произведения: $ \log_c k + \log_c m = \log_c (km) $
3. Свойство частного: $ \log_c k - \log_c m = \log_c \left(\frac{k}{m}\right) $
Если $ \log_c x = \log_c y $, то $ x = y $.

1) Дано уравнение $ \log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b $. Для нахождения $x$ преобразуем правую часть уравнения.

Сначала применим свойство степени логарифма:
$ 4 \log_3 a + 7 \log_3 b = \log_3 a^4 + \log_3 b^7 $

Далее применим свойство суммы логарифмов:
$ \log_3 a^4 + \log_3 b^7 = \log_3 (a^4 b^7) $

Теперь исходное уравнение имеет вид:
$ \log_3 x = \log_3 (a^4 b^7) $

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x = a^4 b^7 $

Ответ: $ x = a^4 b^7 $.

2) Дано уравнение $ \log_5 x = 2 \log_5 a - 3 \log_5 b $. Преобразуем правую часть.

Используя свойство степени логарифма, получаем:
$ 2 \log_5 a - 3 \log_5 b = \log_5 a^2 - \log_5 b^3 $

Далее, используя свойство разности логарифмов, получаем:
$ \log_5 a^2 - \log_5 b^3 = \log_5 \left(\frac{a^2}{b^3}\right) $

Таким образом, уравнение принимает вид:
$ \log_5 x = \log_5 \left(\frac{a^2}{b^3}\right) $

Приравнивая аргументы логарифмов, находим $x$:
$ x = \frac{a^2}{b^3} $

Ответ: $ x = \frac{a^2}{b^3} $.

3) Дано уравнение $ \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b $. Преобразуем правую часть по аналогии с предыдущими примерами.

Применяем свойство степени логарифма:
$ \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a - \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b = \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{5}} $

Применяем свойство разности логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{5}} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}\right) $

Получаем уравнение:
$ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}\right) $

Отсюда находим $x$:
$ x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}} $

Ответ: $ x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}} $.

4) Дано уравнение $ \log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b $. Снова преобразуем правую часть.

Применяем свойство степени логарифма:
$ \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b = \log_{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{4}} + \log_{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{7}} $

Применяем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{4}} + \log_{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{7}} = \log_{\frac{2}{3}} (a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}) $

Уравнение принимает вид:
$ \log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}} (a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}}) $

Отсюда находим $x$:
$ x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}} $

Ответ: $ x = a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{4}{7}} $.