Номер 292, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 292, страница 95.

292 1) $ \log_{13} \sqrt[5]{169} $;

2) $ \log_{11} \sqrt[3]{121} $;

3) $ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243} $;

4) $ \log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}} $.

1) Для вычисления значения данного логарифма необходимо преобразовать выражение под знаком логарифма так, чтобы оно представляло собой степень с основанием 13.
Сначала представим корень пятой степени в виде дробного показателя степени:
$ \log_{13} \sqrt[5]{169} = \log_{13} (169)^{\frac{1}{5}} $
Заметим, что число 169 является квадратом числа 13, то есть $169 = 13^2$. Подставим это в выражение:
$ \log_{13} (13^2)^{\frac{1}{5}} $
Теперь воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$ \log_{13} 13^{2 \cdot \frac{1}{5}} = \log_{13} 13^{\frac{2}{5}} $
Используя основное свойство логарифма $\log_a a^x = x$, получаем:
$ \log_{13} 13^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5} $
Ответ: $\frac{2}{5}$

2) Преобразуем выражение под знаком логарифма, чтобы оно было представлено в виде степени с основанием 11.
Представим кубический корень как степень с показателем $\frac{1}{3}$:
$ \log_{11} \sqrt[3]{121} = \log_{11} (121)^{\frac{1}{3}} $
Мы знаем, что $121 = 11^2$. Сделаем подстановку:
$ \log_{11} (11^2)^{\frac{1}{3}} $
Применяя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим:
$ \log_{11} 11^{2 \cdot \frac{1}{3}} = \log_{11} 11^{\frac{2}{3}} $
По свойству логарифма $\log_a a^x = x$:
$ \log_{11} 11^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} $
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) Для решения необходимо привести основание логарифма и выражение под логарифмом к степеням одного и того же числа. В данном случае это число 3.
Основание логарифма: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Число под корнем: $243 = 3^5$.
Преобразуем исходное выражение:
$ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243} = \log_{3^{-1}} (3^5)^{\frac{1}{4}} $
Упростим выражение под знаком логарифма:
$ \log_{3^{-1}} 3^{\frac{5}{4}} $
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$ \frac{\frac{5}{4}}{-1} \log_3 3 = -\frac{5}{4} \cdot 1 = -\frac{5}{4} $
Ответ: $-\frac{5}{4}$

4) Преобразуем выражение под логарифмом к степени с основанием 2.
Представим дробь и корень в виде степени. Мы знаем, что $128 = 2^7$.
$ \log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}} = \log_2 \frac{1}{(2^7)^{\frac{1}{6}}} $
Упростим знаменатель, используя свойство степеней:
$ \log_2 \frac{1}{2^{\frac{7}{6}}} $
Теперь используем свойство отрицательной степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$ \log_2 2^{-\frac{7}{6}} $
Применим основное свойство логарифма $\log_a a^x = x$:
$ \log_2 2^{-\frac{7}{6}} = -\frac{7}{6} $
Ответ: $-\frac{7}{6}$