Номер 290, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 16. Свойства логарифмов - номер 290, страница 95.

Условие.

290 1) $\log_{10} 5 + \log_{10} 2;$

2) $\log_{10} 8 + \log_{10} 125;$

3) $\log_{12} 2 + \log_{12} 72;$

4) $\log_{3} 6 + \log_{3} \frac{3}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этого примера воспользуемся основным свойством логарифмов, а именно формулой суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применим эту формулу к выражению $\log_{10} 5 + \log_{10} 2$:

$\log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 10$.

Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_b b = 1$). Следовательно:

$\log_{10} 10 = 1$.

Ответ: 1

2) Здесь мы также используем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применяя его к выражению $\log_{10} 8 + \log_{10} 125$, получаем:

$\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} (8 \cdot 125)$.

Вычислим произведение в скобках: $8 \cdot 125 = 1000$.

Таким образом, выражение упрощается до $\log_{10} 1000$.

Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание 10, чтобы получить 1000? Так как $10^3 = 1000$, то:

$\log_{10} 1000 = 3$.

Ответ: 3

3) Снова используем то же свойство сложения логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применим его к выражению $\log_{12} 2 + \log_{12} 72$:

$\log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12} (2 \cdot 72)$.

Вычислим произведение: $2 \cdot 72 = 144$.

Получаем логарифм $\log_{12} 144$.

Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 12, чтобы получить 144. Мы знаем, что $12^2 = 144$. Значит:

$\log_{12} 144 = 2$.

Ответ: 2

4) И в последнем примере мы применяем свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

Применим его к выражению $\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2}$:

$\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} = \log_3 (6 \cdot \frac{3}{2})$.

Выполним умножение под знаком логарифма: $6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Получаем выражение $\log_3 9$.

Чтобы найти его значение, определим, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9. Так как $3^2 = 9$, то:

$\log_3 9 = 2$.

Ответ: 2