Номер 283, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 283, страница 93.

Условие.

Выяснить, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение (283—284).

283 1) $\log_6 (49 - x^2)$; 2) $\log_7 (x^2 + x - 6)$; 3) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 7)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы логарифмическое выражение $\log_a(b)$ имело смысл, необходимо выполнение двух условий: основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а аргумент логарифма должен быть строго положительным ($b > 0$).

Во всех представленных задачах основания логарифмов ($6$, $7$ и $\frac{1}{5}$) являются константами, которые удовлетворяют условиям ($a > 0, a \neq 1$). Следовательно, для нахождения области определения каждого выражения достаточно потребовать, чтобы его аргумент был больше нуля.

1)

Рассмотрим выражение $\log_6(49 - x^2)$.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$49 - x^2 > 0$

Решим это квадратное неравенство:

$x^2 < 49$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|x| < 7$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-7 < x < 7$

Таким образом, выражение имеет смысл для всех $x$ из интервала $(-7, 7)$.

Ответ: $x \in (-7, 7)$.

2)

Рассмотрим выражение $\log_7(x^2 + x - 6)$.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + x - 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корнями уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

$x < -3$ или $x > 2$

Это можно записать в виде объединения интервалов $(-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.

3)

Рассмотрим выражение $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 2x + 7)$.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + 2x + 7 > 0$

Проанализируем квадратный трехчлен $y = x^2 + 2x + 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Найдем дискриминант этого трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение $x^2 + 2x + 7 = 0$ не имеет действительных корней. Так как ветви параболы направлены вверх, это означает, что парабола полностью расположена выше оси абсцисс, и, следовательно, выражение $x^2 + 2x + 7$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 + 2x + 7 > 0$ справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.