Номер 288, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 15. Логарифмы. Глава 4. Логарифмическая функция - номер 288, страница 93.

288 При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $ \log_x (2x - 1); $

2) $ \log_{x-1} (x + 1)? $

Чтобы логарифмическое выражение $\log_a(b)$ имело смысл, его основание $a$ и аргумент $b$ должны удовлетворять следующим условиям (область определения логарифма):

1. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: $a > 0$.
2. Основание логарифма не должно равняться единице: $a \neq 1$.
3. Аргумент (подлогарифмическое выражение) должен быть строго больше нуля: $b > 0$.

Эти три условия должны выполняться одновременно, поэтому мы будем решать систему неравенств для каждого случая.

1) $\log_x (2x - 1)$

В этом выражении основание $a = x$, а аргумент $b = 2x - 1$. Применим условия области определения логарифма и составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Сначала решим третье неравенство:

$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$

Теперь объединим все условия:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} $

Условие $x > \frac{1}{2}$ является более строгим, чем $x > 0$, поэтому оно поглощает его. Система упрощается до:

$ \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x \neq 1 \end{cases} $

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$ больше $1/2$, за исключением $x=1$. В виде объединения интервалов это записывается как $(\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $\log_{x-1} (x + 1)$

Здесь основание $a = x - 1$, а аргумент $b = x + 1$. Составим соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство в системе по отдельности:

$ \begin{cases} x > 1 \\ x \neq 2 \\ x > -1 \end{cases} $

Условие $x > 1$ является более строгим, чем $x > -1$, поэтому оно поглощает его. Система сводится к следующему:

$ \begin{cases} x > 1 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$ больше $1$, за исключением $x=2$. В виде объединения интервалов это записывается как $(1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.