Номер 281, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 281, страница 93.

Условие.

281 1) $ \log_2 \log_3 81 $;

2) $ \log_3 \log_2 8 $;

3) $ 2 \log_{27} \log_{10} 1000 $;

4) $ \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8 $;

5) $ 3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_2 \log_3 81$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_3 81$. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 81. Поскольку $81 = 3^4$, то $\log_3 81 = 4$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: $\log_2 4$.

Далее вычислим $\log_2 4$. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Поскольку $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = 2$.

Таким образом, $\log_2 (\log_3 81) = \log_2(4) = 2$.

Ответ: 2

2) $\log_3 \log_2 8$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_2 8$. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Поскольку $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\log_3 3$.

Логарифм числа по тому же основанию всегда равен единице ($\log_a a = 1$). Следовательно, $\log_3 3 = 1$.

Таким образом, $\log_3 (\log_2 8) = \log_3(3) = 1$.

Ответ: 1

3) $2 \log_{27} \log_{10} 1000$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{10} 1000$. Это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Поскольку $1000 = 10^3$, то $\log_{10} 1000 = 3$.

Подставим это значение в выражение: $2 \log_{27} 3$.

Теперь вычислим $\log_{27} 3$. Нам нужно найти степень $x$, такую что $27^x = 3$. Поскольку $27 = 3^3$, уравнение можно переписать как $(3^3)^x = 3^1$, или $3^{3x} = 3^1$. Отсюда следует, что $3x = 1$, и $x = \frac{1}{3}$. Таким образом, $\log_{27} 3 = \frac{1}{3}$.

Наконец, умножим результат на 2: $2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) $\frac{1}{3} \log_9 \log_2 8$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_2 8$. Как мы уже выяснили в задании 2, $\log_2 8 = 3$.

Подставим это значение в выражение: $\frac{1}{3} \log_9 3$.

Теперь вычислим $\log_9 3$. Нам нужно найти степень $x$, такую что $9^x = 3$. Поскольку $9 = 3^2$, уравнение можно переписать как $(3^2)^x = 3^1$, или $3^{2x} = 3^1$. Отсюда следует, что $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$. Таким образом, $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим окончательное значение: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

5) $3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2$

Разобьем выражение на две части и вычислим каждую отдельно.

Первая часть: $3 \log_2 \log_4 16$.
Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_4 16$. Поскольку $16 = 4^2$, то $\log_4 16 = 2$.
Подставим это значение: $3 \log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, первая часть равна $3 \cdot 1 = 3$.

Вторая часть: $\log_{\frac{1}{2}} 2$.
Нам нужно найти степень $x$, такую что $(\frac{1}{2})^x = 2$.
Поскольку $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, уравнение можно переписать как $(2^{-1})^x = 2^1$, или $2^{-x} = 2^1$. Отсюда следует, что $-x = 1$, и $x = -1$.
Таким образом, $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.

Теперь сложим результаты обеих частей: $3 + (-1) = 3 - 1 = 2$.

Ответ: 2