Номер 275, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 275, страница 92.

Условие.

275 1) $3^{5 \log_3 2}$;

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2}$;

3) $0.3^{2 \log_{0.3} 6}$;

4) $7^{\frac{1}{2} \log_7 9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$, а затем основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
Сначала преобразуем показатель степени:
$5 \log_3 2 = \log_3 (2^5) = \log_3 32$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$3^{5 \log_3 2} = 3^{\log_3 32}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$3^{\log_3 32} = 32$
Ответ: 32

2) Этот пример решается аналогично предыдущему, используя те же свойства логарифмов.
Преобразуем показатель степени, используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$6 \log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} (2^6) = \log_{\frac{1}{2}} 64$
Подставим полученное выражение в исходное:
$(\frac{1}{2})^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 64}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 64} = 64$
Ответ: 64

3) Снова используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Преобразуем показатель степени:
$2 \log_{0.3} 6 = \log_{0.3} (6^2) = \log_{0.3} 36$
Подставим это в исходное выражение:
$0.3^{2 \log_{0.3} 6} = 0.3^{\log_{0.3} 36}$
Используя основное логарифмическое тождество, получаем:
$0.3^{\log_{0.3} 36} = 36$
Ответ: 36

4) Для решения этого примера воспользуемся теми же правилами.
Преобразуем показатель степени по свойству $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$\frac{1}{2} \log_7 9 = \log_7 (9^{\frac{1}{2}})$
Так как $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$, то показатель степени равен $\log_7 3$.
Подставим это в исходное выражение:
$7^{\frac{1}{2} \log_7 9} = 7^{\log_7 3}$
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$7^{\log_7 3} = 3$
Ответ: 3