Номер 276, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 4. Логарифмическая функция. Параграф 15. Логарифмы - номер 276, страница 92.

Условие.

276 1) $8^{\log_2 5}$;

2) $9^{\log_3 12}$;

3) $16^{\log_4 7}$;

4) $0.125^{\log_{0.5} 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $8^{\log_2 5}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством степени и логарифма. Сначала представим основание степени 8 как степень числа 2, так как основание логарифма равно 2.

$8 = 2^3$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(2^3)^{\log_2 5} = 2^{3 \cdot \log_2 5}$

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$2^{3 \cdot \log_2 5} = 2^{\log_2 5^3}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$2^{\log_2 5^3} = 5^3 = 125$

Ответ: $125$

2) $9^{\log_3 12}$

Решим этот пример аналогично первому. Представим основание степени 9 как степень числа 3, так как основание логарифма равно 3.

$9 = 3^2$

Перепишем выражение:

$9^{\log_3 12} = (3^2)^{\log_3 12}$

Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^{\log_3 12} = 3^{2 \cdot \log_3 12}$

Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$3^{2 \cdot \log_3 12} = 3^{\log_3 12^2}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3 12^2} = 12^2 = 144$

Ответ: $144$

3) $16^{\log_4 7}$

Поступаем так же, как и в предыдущих примерах. Представим основание 16 как степень числа 4.

$16 = 4^2$

Подставляем в исходное выражение:

$16^{\log_4 7} = (4^2)^{\log_4 7}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(4^2)^{\log_4 7} = 4^{2 \cdot \log_4 7}$

Применяем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$4^{2 \cdot \log_4 7} = 4^{\log_4 7^2}$

Наконец, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 7^2} = 7^2 = 49$

Ответ: $49$

4) $0,125^{\log_{0,5} 1}$

Для решения этого примера достаточно вспомнить одно из основных свойств логарифмов: логарифм единицы по любому основанию (большему 0 и не равному 1) равен нулю.

$\log_a 1 = 0$

В нашем случае основание $a=0,5$, что удовлетворяет условиям.

Следовательно, показатель степени равен:

$\log_{0,5} 1 = 0$

Тогда все выражение принимает вид:

$0,125^{\log_{0,5} 1} = 0,125^0$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

$0,125^0 = 1$

Ответ: $1$